CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN

*

1. Phần bù đại số

Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ lúc đó $A_ij=(-1)^i+jM_ij,$ cùng với $M_ij$ là định thức cảm nhận từ định thức của ma trận $A$ bằng phương pháp bỏ đi cái $i$ với cột $j$ được điện thoại tư vấn là phần bù đại số của phần tử $a_ij.$

Ví dụ 1:Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1&m\ 3&1&4&2\ - 3&4&2&1\ - 1&2&1&3 endarray ight).$

Tính những phần bù đại số $A_11,A_12,A_13,A_14.$

Giải.

Bạn đang xem: Bài tập tính định thức cấp 4 có lời giải

Ta có:

$eginarrayl A_11 = ( - 1)^1 + 1left| eginarray*20c 1&4&2\ 4&2&1\ 2&1&3 endarray ight| = - 35;A_12 = ( - 1)^1 + 2left| eginarray*20c 3&4&2\ - 3&2&1\ - 1&1&3 endarray ight| = - 45;\ A_13 = ( - 1)^1 + 3left| eginarray*20c 3&1&2\ - 3&4&1\ - 1&2&3 endarray ight| = 34;A_14 = ( - 1)^1 + 4left| eginarray*20c 3&1&4\ - 3&4&2\ - 1&2&1 endarray ight| = 7. endarray$

Công thức khai triển Laplace

Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ khi đó

$det (A)=a_i1A_i1+a_i2A_i2+...+a_inA_in ext (i=1,2,...,n)$

đây là cách làm khai triển định thức ma trận $A$ theo dòng thứ $i.$

$det (A)=a_1jA_1j+a_2jA_2j+...+a_njA_nj ext (j=1,2,...,n)$

đây là phương pháp khai triển định thức ma trận $A$ theo cộng thứ $j.$

Ví dụ 1: Tính định thức của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1&m\ 3&1&4&2\ - 3&4&2&1\ - 1&2&1&3 endarray ight)$ theo cách làm khai triển dòng 1.

Giải. Có$det (A)=1.A_11+2.A_12-1.A_13+m.A_14,$ trong những số ấy

$eginarrayl A_11 = ( - 1)^1 + 1left| eginarray*20c 1&4&2\ 4&2&1\ 2&1&3 endarray ight| = - 35;A_12 = ( - 1)^1 + 2left| eginarray*20c 3&4&2\ - 3&2&1\ - 1&1&3 endarray ight| = - 45;\ A_13 = ( - 1)^1 + 3left| eginarray*20c 3&1&2\ - 3&4&1\ - 1&2&3 endarray ight| = 34;A_14 = ( - 1)^1 + 4left| eginarray*20c 3&1&4\ - 3&4&2\ - 1&2&1 endarray ight| = 7. endarray$

Vậy $det (A)=-35+2.(-45)-34+7m=7m-159.$

Ví dụ 2: Tính định thức $left| eginarray*20c 1&1&2&2\ - 3&1&5&1\ - 2&5&0&0\ 2& - 1&3& - 1 endarray ight|.$

Giải. Để ý mẫu 3 của định thức bao gồm 2 bộ phận bằng 0 yêu cầu khai triển theo mẫu này đã chỉ gồm hai số hạng

Ví dụ 3: Tính định thức $left| eginarray*20c 0&1&2& - m\ - 2& - 1&2&1\ 0& - 3&4&2\ 0& - 5&1&1 endarray ight|.$

Giải. Để ý cột 1 có 3 bộ phận bằng 0 phải khai triển theo cột 1 ta có

Ví dụ 4: Tính định thức

Giải. Để ý cột 3 có thành phần đầu tiên là 1, vậy ta sẽ biến đổi sơ cấp cho cho định thức theo cột 3

*

Ví dụ 5: Tính định thức $left| eginarray*20c 1&2& - 3&4\ - 1&3&1& - m\ 2& - 4&3&1\ - 3&2&1&2 endarray ight|.$

Giải.

*

Ví dụ 6: Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 3&4\ - 1&3&1& - m\ - 2& - 2& - 2& - 2\ - 3&2&1&2 endarray ight).$ Tính tổng những phần bù đại số của các thành phần thuộc cái 4 của ma trận $A.$

Giải. Thay các bộ phận ở chiếc 4 của ma trận A bởi $-2,$ ta được ma trận $B = left( eginarray*20c 1&2& - 3&4\ - 1&3&1& - m\ - 2& - 2& - 2& - 2\ - 2& - 2& - 2& - 2 endarray ight)$ có định thức bằng 0 vì có hai cái giống nhau cùng hai ma trận $A,B$ có các phần bù đại số của các phần tử dòng 4 tương tự nhau.

Vậy $det (B)=-2A_41-2A_42-2A_43-2A_44=0Leftrightarrow A_41+A_42+A_43+A_44=0.$

Ví dụ 7: Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ - 2& - 1&4&1\ 3& - 4& - 5&6\ - 4&5& - 6&7 endarray ight).$ Tính $A_41+2A_42+3A_43+4A_44.$

Giải. Thay các thành phần ở dòng 4 của ma trận A lần lượt vày $1,2,3,4$ ta được ma trận $B = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ - 2& - 1&4&1\ 3& - 4& - 5&6\ 1&2&3&4 endarray ight)$ gồm định thức bằng 0 vì tất cả hai dòng giống nhau với hai ma trận $A,B$ có các phần bù đại số của các bộ phận dòng 4 tương đương nhau

Vậy $det (B)=1A_41+2A_42+3A_43+4A_44=0Leftrightarrow A_41+2A_42+3A_43+4A_44=0.$

Ví dụ 8: Cho D là một trong những định thức cung cấp n có tất cả các thành phần của một chiếc thứ i bằng 1. Chứng tỏ rằng:

Tổng các phần bù đại số của các thành phần thuộc mỗi mẫu khác cái thứ i đều bằng 0.Định thức D bởi tổng phần bù đại số của tất cả các thành phần của nó.

Ví dụ 9: Tính định thức $left| eginarray*20c - 2&5&0& - 1&3\ 1&0&3&7& - 2\ 3& - 1&0&5& - 5\ 2&6& - 4&1&2\ 0& - 3& - 1&2&3 endarray ight|.$

Ví dụ 10: Tính định thức $left| eginarray*20c 1& - 2&3&2& - 5\ 2&1&2& - 1&3\ 1&4&2&0&1\ 3&5&2&3&3\ 1&4&3&0& - 3 endarray ight|.$

3. Định thức của ma trận tam giác

Định thức của ma trận tam giác bằng tích các thành phần nằm trên đường chéo cánh chính

Thật vậy, so với ma trận tam giác trên khai triển theo cột 1 có:

*

đối cùng với ma trận tam giác dưới khai triển theo mẫu 1.

4. Tính định thức dựa trên các đặc điểm định thức, phương pháp khai triển Laplace và chuyển đổi về ma trận tam giác

Ví dụ 10: Tính định thức $left| eginarray*20c a&b&...&b\ b&a&...&b\ ...&...&...&...\ b&b&...&a endarray ight|.$

Giải. Ta có:

$eginarrayl left| eginarray*20c a&b&...&b\ b&a&...&b\ ...&...&...&...\ b&b&...&a endarray ight|underlineunderline c2 + c3 + ... + công nhân + c1 left| eginarray*20c a + (n - 1)b&b&...&b\ a + (n - 1)b&a&...&b\ ...&...&...&...\ a + (n - 1)b&b&...&a endarray ight|\ = left( a + (n - 1)b ight)left| eginarray*20c 1&b&...&b\ 1&a&...&b\ ...&...&...&...\ 1&b&...&a endarray ight|\ underlineunderline - d_1 + d_i left( a + (n - 1)b ight)left| eginarray*20c 1&b&...&b\ 0&a - b&...&b\ ...&...&...&...\ 0&0&...&a - b endarray ight| = left( a + (n - 1)b ight)(b - b)^n - 1. endarray$

Hiện trên briz15.com thành lập 2 khoá học Toán cao cấp 1 với Toán thời thượng 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đh khối ngành kinh tế tài chính của tất cả các trường:

Khoá học hỗ trợ đầy đủ kiến thức và phương thức giải bài tập các dạng toán kèm theo mỗi bài học. Khối hệ thống bài tập tập luyện dạng trường đoản cú luận tất cả lời giải cụ thể tại website sẽ giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn là kiến thức. Kim chỉ nam của khoá học giúp học viên lấy điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 và Toán thời thượng 2 trong các trường tởm tế.

Xem thêm: Biết Diện Tích Hình Vuông Tính Chu Vi Hình Vuông, Cách Để Tính Chu Vi Hình Vuông

Sinh viên những trường ĐH sau đây hoàn toàn có thể học được bộ combo này:

- ĐH kinh tế tài chính Quốc Dân

- ĐH nước ngoài Thương

- ĐH thương Mại

- học viện Tài Chính

- học viện chuyên nghành ngân hàng

- ĐH kinh tế tài chính ĐH non sông Hà Nội

và các trường đại học, ngành kinh tế của những trường ĐH không giống trên mọi cả nước...