BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP

ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH

KINH TẾ

Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2016

Chương 1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

Bài 1. Tính các định thức sau

a)  2010 b) 8 12

5 7 

 c) 1 3

 9 6 d) 2 8 13

1 3 5

4 2 3

e) 2 4 1

3 2 4

1 0 5

 f) 3 9 5

2 3 1

2 0 3

 g) 2 3 1

1 1 3

4 2 3

 h) 3 2 1

2 1 1

5 3 2 

Bài 1. Tính các định thức sau

a) 4 3 4 6

3 2 3 1

2 1 4 3

1 0 3 2

 

  b) 2 6 5 4

3 4 5 1

2 2 3 1

1 0 3 2

 

c)

4 1 8 0 5

4 3 0 1 3

3 1 2 0 2

1 2 3 5 4

2 1 3 4 0

 

 

 

d)

4 3 5 5 2

2 4 3 1 1

3 2 1 1 2

2 1 3 0 1

1 0 2 3 1

 

 

  

  

Bài 1. Chứng minh rằng định thức : D = 1 7 0

1 8 7

2 8 9 chia hết cho 17.

Bạn đang xem: Bài tập toán cao cấp 1

Bài 1. Chứng minh rằng định thức D =

####### 4 6 5

####### 1 2 5

####### 2 9 0

chia hết cho 19.

Bài 1. Chứng minh các đồng nhất thức sau:

Tính

a)

nsinx cosx

cosx sinx  



  b) n0 3

4 1  



 c)

100

0 0 a

0 a 1

a 1 0





Bài 1. Tìm tất cả các ma trận B giao hoán với ma trận A, nghĩa là AB = BA, biết:

a) A =  



 3 4

12 b) A = 



  1 1

11

Bài 1. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau:

a)  



 3 4

1 2 b)  



 c d

a b c) 







2 3 1

3 1 3

1 0 2

d) 





  

1 0 5

3 2 1

2 1 3 e) 

 

1 4 2 1

1 3 1 2

4 2 2 3

2 1 3 0 f) 

0 0 0 1

0 0 2 3

0 2 4 6

1 0 1 3

Bài 1. Giải các phương trình AX = B, biết:

a) A =  



 

 3 4

2 3 ; B =  



 7 8

5 6 b) A =  



 

4 3

5 4 ; B =  



  2 3

1 2

c) A =  



 

3 9

1 3 ; B =  



 1 2

4 3

d)

  

0 0 ... 0 1

0 0 ... 1 2

.. .....

0 1 ... n 2 n 1

1 2 ... n 1 n

B;

0 0 ... 0 1

0 0 ... 1 1

.. .....

0 1 ... 1 1

1 1 ... 1 1

A

Bài 1. a) Cho A là ma trận vuông thỏa mãn điều kiện: A 2  2010 AE  0. Tìm ma trận

nghịch đảo A-1 của A (nếu tồn tại) (E là ma trận đơn vị).

b) Cho A là ma trận vuông cấp n có )A(r n .1 Tìm r(A)

Bài 1. Tìm hạng của các ma trận sau:

A = 

2 5 7

2 4 2

0 3 1

2 1 3 ; B = 

2 1 4 0

1 2 2 3

2 0 1 4

1 2 3 1 ; C = 

 

 

 

 

4 2 4 2

3 3 5 1

2 1 2 1

1 2 3 0 ;

D =

8 6 2 10

2 4 4 4

3 1 1 2

1 2 2 3

2 1 3 1

; E = 





 

1 3 4 3 1

3 1 2 3 2

1 2 3 0 4 ; F = 

  

2 4 6 7

1 6 10 8

2 0 1 3

1 2 3 4

Bài 1. Tìm m để ma trận sau có hạng bé nhất:





1 10 6 1

2 1 m 5

1 m 1 2

Bài 1. a) Chứng minh rằng, ma trận  



 c d

a bA thoả mãn: X 2  a(  X)d adbc 0

b) Giả sử A là ma trận vuông cấp 2 và k là số nguyên lớn hơn 2. Chứng minh rằng Ak = 0

khi và chỉ khi A 2 = 0.

Bài 1. a) Giả sử Ak = 0 (k là số nguyên lớn hơn 2). Chứng minh rằng

(E – A)-1 = E + A + A 2 + ... + Ak -

b) Cho A là ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đường chéo chính bằng 0, các

phần tử còn lại bằng 1 hoặc 2000. Chứng minh rằng )A(r n 1

Bài 1. a) Cho A là ma trận vuông cấp n có A-1 = 3A. Tính det(A 2009 – A)

b) Chứng minh rằng không tồn tại các ma trận A, B vuông cấp n sao cho AB – BA = E.

Bài 1. Tính các định thức cấp n sau

CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Bài 2. Tìm véc tơ x = 2x 1 – x 2 + x 3 biết:

a) x 1 = (2; 1; -1; 3); x 2 = (- 2; 1; 3; 4); x 3 = (-3; 1; 4; 5)

b) x 1 = (a; 1; 2; -1); x 2 = (- 2; - a; 1; -1);x 3 = (- 2; 4; a; 3)

Bài 2. Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các hệ véc tơ sau

a) U = {x 1 = (2; 1; -1); x 2 = (- 2; 3; -4); x 3 = (3; - 1; 2)}

b) U = {x 1 = (3; -2; 4); x 2 = (- 2; 2; 0); x 3 =(- 1; 2; 4)}

c) U = {x 1 =(1;1;0); x 2 =(0;1;1); x 3 = (1;0;1); x 4 =(2;-2; 2)}

d) U = {x 1 = (1; -1; 2); x 2 = (2; 0; 1)}

e) U = {x 1 =(1;-1;2;3); x 2 = (2;3;- 2;- 4); x 3 = (3;2; 0; -1)}

Bài 2. Biểu diễn véc tơ a qua các véc tơ u 1 , u 2 , u 3

a) a = (4; 9; -3; -1); u 1 = (1; 2; -1; 1); u 2 = (0; - 1; 2; 2); u 3 = (2; 4; 1; -1)

b) a = (3; 0; 4) ; u 1 = (1; -1; 2); u 2 = (2; -1; 4); u 3 = (0; 1; -1)

Bài 2. Trong R 3 , hệ véc tơ nào sau đây là cơ sở của R 3

a) U = {u = (1 ; -2 ; 3)}b) U = {u 1 = (1 ; -1 ; -2) ; u 2 = (3 ; 0 ; 1)}c) U = {u 1 =(1 ; -2 ; 1) ;u 2 = (1 ;-3 ; - 4) ; u 3 = (2 ; -5 ; - 3) }d) U = {u 1 = (1 ; -1 ; -3) ;u 2 = (0 ; 0 ; 0); u 3 = (5 ; -4 ; 0)}e) U = {u 1 = (1 ; 1 ; 0) ; u 2 = (-1 ; 1 ; 2); u 2 = (2 ; 0 ; 1) ; u 3 = (1 ; 2 ; 3)}f) U = {u 1 = (1 ; 1 ; -2) ; u 2 = (0 ; -1 ; 1) ; u 3 = (0 ; 0 ; 2)}

Bài 2. Tìm hạng của hệ véc tơ sau

a) U = {u 1 = (3 ; 1 ; -2) ; u 2 = (-2 ; 1 ; 3) ; u 3 = (-1 ; 3 ; 4)}b) U = {u 1 = (-1 ; 1 ; 2) ; u 2 = (2 ; - 3 ; -1) ; u 3 = (-3 ; 2 ; 6)}c) U = {u 1 = (2 ; 3 ; 1 ; 2) ; u 2 = (3 ; 1 ; 2 ; 7) ; u 3 = (2 ; 4 ; 3 ; 3) ; u 4 = (1 ; 1 ; 2 ; 3)}d) U = {u 1 = (1;2 ;3 ; -3) ; u 2 = (2 ; 1 ; -2 ; 3) ; u 3 = (-3 ; 1 ; 2 ; 1) ; u 4 = (-3 ; 6 ; 3 ; 2)}

e) U = {u 1 = (1 ; 0 ; 1 ; -2) ; u 2 = (1 ; 1 ; 3 ; -2) ; u 3 = (2 ; 1 ; 5 ; -1) ; u 4 =(1 ; -1 ; 1 ; 4)}

Bài 2. Tuỳ theo giá trị của m, tìm hạng của hệ véc tơ sau

a) U = {u 1 = (1 ; - 2 ; 3) ; u 2 = (2 ; 1 ; 0) ; u 3 = (m ; 0 ; 0)}b) U = {u 1 = (1 ; 2 ; -1) ; u 2 = (2 ; 4 ; m)}c) U = {u 1 = (1;1;1; 2) ; u 2 = (1; -1; 2; 0) ; u 3 = (1; 2; 0; 0) ; u 4 = (m -1; -1; -1; -2)}

Bài 2. Tập hợp nào sau đây là không gian con của không gian R 3

a) F = {(x 1 ; 0; x 2 ); x 1 , x 2  R}b) F = {(x 1 ; 0; 1); x 1  R}c) F = {(a; b; a - 2b); a, b  R }d) F = {(x 1 , x 2 , x 3 ): x 1 - 2x 2 + x 3 = 1; x 1 , x 2 , x 3  R}Nếu F là không gian con của R 3 thì tìm cơ sở và số chiều của F.

Bài 2. Tìm cơ sở và số chiều của không gian con F của R 3 sinh bởi hệ véc tơ sau

a) U = {u 1 = (- 1 ; 2 ; -3)}b) U = {u 1 = (1 ; - 1 ; 2) ; u 2 = (-3 ; 0 ; 1)}c) U = {u 1 = (1 ; 2 ; 1) ;u 2 = (- 1 ;- 3 ; 4) ; u 3 = (0 ; - 1 ; 5) }d) U = {u 1 = (-1 ; 1 ; - 3) ; u 2 = (0 ; 0 ; 0) ; u 3 = (-1 ; 0 ; - 4)}e) U = {u 1 = (1 ; 0 ; 0) ; u 2 = (1 ; -1 ; 0) ; u 3 = (1 ; 1 ; -1) ;u 4 = (1 ; - 2 ; - 3)}f) U = {u 1 = (1 ; 0 ; 0) ; u 2 = (1 ; - 1 ; 0) ; u 3 = (-1 ; 1 ; 1)}

Bài 2. Tìm m để hệ véc tơ sau là cơ sở của không gian R 3

a) U = {u 1 = (3; 1; m); u 2 = (1; 1; 0) ; u 3 = ( 2; 1; m)}b) U = {u 1 = (1; - 2; 2); u 2 = (0; 1; -1) ; u 3 = (1; -1; m)}

Bài 2. Cho tập F )z;y;x( R 3 ax: byz b,a;0 R

a) Chứng minh rằng F là không gian con của R 3b) Tìm dim F

Bài 2. Cho tập 



 

  

   x y 0

x y2 mz 0F )z;y;x( R 3 : (m là tham số)

a) Chứng minh rằng F là không gian con của R 3

Bài 2. Cho E, F là các không gian véc tơ con của E. Hỏi EF có là không gian con của

Rn hay không?

Bài 2. Trong R 4 , cho hệ véc tơ

U = {u 1 =(-1; 2;1;2); u 2 =(1; m; 1; 3); u 3 =(1; -1; -1; -1); u 4 =(-1; 2; m; 2); u 5 =(1; 1; -1; 1)}

Tìm một cơ sở không gian con L(U).

Bài 2. Trong không gian R 4 , cho hệ véc tơ U = {u 1 , u 2 , u 3 , u 4 }với u 1 = (2; 3; 3; -1); u 2 =

(1; -1; 3; 3);

u 3 = (2; 3; 1; a); u 4 = (1; -1; b; 1)

a) Tìm điều kiện của a, b để u là một cơ sở của R 4.b) Khi a = -1, b = 2; hãy biểu diễn X = (2; 3; 0; 1) qua hệ véc tơ U

Bài 2. Cho các tập con của R 3 :

E )z;y;x( R 3 x:  y2 z 0 



 

   

   x2 y3 mz 0

x y z2 0F )z;y;x( R 3 :

Tìm m để EF là không gian con của R 3 có số chiều bằng 1.

Bài 2. Trong R 3 , hãy chứng minh rằng L({u 1 , u 2 }) = L({v 1 , v 2 })

a) u 1 = (3; -4; 2); u 2 = (2; 3; -1); v 1 = (0; -17; 7);v 2 = (11; -9; 5)b) u 1 = (2; -1; 5); u 2 = (-1; 4; 3); v 1 = (1; 2; 8);v 2 = (4; 5; 21)

Bài 2. Trong R 4 , cho hệ véc tơ U = {u 1 = (1; 2; a; 1); u 2 = (a; 1; 2; 3); u 3 = (0; 1; b; 0)}

a) Xác định a, b để hệ U là phụ thuộc tuyến tính.b) Với a, b tìm được, hãy tìm một cơ sở và số chiều của L(U).

Bài 2. Giả sử u, v Rn và A là ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng

a) Nếu {Au, Av} là độc lập tuyến tính thì {u, v} là độc lập tuyến tính.b) Nếu {u, v} là độc lập tuyến tính và A khả nghịch thì {Au, Av} độc lập tuyến tính

Bài 2. Trong không gian R 4 , cho

Fx(  y;y;z  x;z  z,y,x:)y2 R và

V = {(1; 0; 0; 1); (0; 1; 1; 2); (1; 0; 1; 0); (-1; 1; 1; 1)}

a) Chứng minh rằng F là không gian con của R 4 và V là hệ sinh của F.

b) Tìm một cơ sở của F và hạng của V.

c) Véc tơ a = (1; 1; 1; 3) có phải là một tổ hợp tuyến tính của V hay không? Bổ sung

các véc tơ vào hệ V để trở thành một cơ sở của R 4.

1 2 3 41 2 3 43 4

4x x 3x x 3x x 2x x a3x 2 x x 7

           

1 2 31 3 1 2

x x x 1x 3x 22x 3x 3

2 3

ax ax

         

1 2 31 31 2

x x x 1x x 1x x a

2 3

axax

         

Bài 3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

ax + y + z + t = 1x + ay + z + t = 1x + y + az + t = 1



ax y z aax y 2z 1x ay 2z 1

         

ax + 2z = 25x + 2y = 1x - 2y + bz = 3



az 1

ax+by + z = x+aby + z =b x +by

  

 



  

  

  

2 3

2 3

2 3

x cy zc c

x by bz b

x ay a z a 6. 



    

   

  

x y k( z)2 1

x2 k( y)1 z2 2

kx y z k

by 2z 1(2b 1)y 3z 1ax by (b 3)z b

axax

           

2 3

y z t 1x z t ax y t ax y z a

ax ay az at

                

Bài 3. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:

1 2 2 2 2 2

x x x x x x

41 3 41 41 3 41 3 4

2x = 52x + 4 - x + 5x = -x + 3 + 5x = -3x + 7 - 3x + 9x = -x + 4 - 2x + x = -

 

1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 4

3x x x 2x 1 x x 2x 4x 5 x x 3x 6x 912x 2x x 2x 10

                  

1 2 3 412 3 42 3 4

4x 2x x 3x 7x 3x 3x x x x 5x

2 3 411

x + x + 2x = 52x = 34x = 1

          

1 2 31 2 3 1 2 3 1 2 3

x 3x 5x 213x 5x 6x 54x 3x 7x 62x 4x 3x 0

             

1 2 3 4 1 2 3 41 2 3 41 2 3 4

x 3x 5x 2x 13x 5x 7x 3x 15x 7x 4x 2x 53x 5x 2x x 5

                   

1 2 3 41 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

x 5x 4x 2x 3 x 11x 6x x 5 3x x 2x 5x 1 4x 12x 4x 6x 4

                   

1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 4

x 5x 2x 3x 153x 2x 5x 4x 84x 12x 10x x 115x 3x 7x x 11

                   

1 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 5

x 3x 5x 2x 4x 14x 5x 3x 3x 5x 33x 8x 8x x x 46x x 7x 7x 3x 1

                     

Bài 3. Tìm điều kiện để các hệ thuần nhất sau: có nghiệm duy nhất, vô số nghiệm

ax - y + z = 0bx + y - z = 0x + 2y - az = 0



ax + y + z + t = 02x + (a+1)y + 2z + 2t = 0-x - y + (a+2)z + 2t = 0-x - y + 2z + (a+2)t = 0



ax + by - cz + dt = 0-bx + ay - dz - ct = 0cx + dy + az - bt = 0-dx + cy + bz + at = 0



Bài 3. Tìm một hệ nghiệm cơ bản và công thức nghiệm tổng quát của các hệ thuần nhất

sau:

1 2 31 2 31 2 3

2x x 4x 03x 5x 7x 04x 5x 6x 0

         

1 2 3 41 2 3 41 2 3 4

2x x 5x 7x 04x 2x 7x 5x 02x x x 5x 0

            

1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 4

x 2x 3x x 02x 3x x 2x 03x x 4x x 0x x x x2 -3 - = 0

             

1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 4

x 3x 4x 3x 02x 5x 5x 8x 04x x 2x x 0x x x x

6 24

-3 4 + 3 19 = 0

             

1 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 5

3x x 8x 2x x 0 2x 2x 3x 7x 2x 0 x 11x 12x 34x 5x 0 x 5x 2x 16x 3x 0

                    

1 2 3 41 2 3 41 2 3 4

3x 2x x 4x 02x 7x 6x x 0x 5x 5x 3x 0

            

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

x 2x 4x 3x 04x 3x 5x 7x 02x x 3x x 0

            

1 2 3 4 5 1 2 3 4 51 2 3 4 5

x 4x 6x 4x x 0 x 2x 2x 8x 6x 0x x 4x 6x 4x 0

               

Bài 3. Cho véctơ X = (2k, 1, 1); X 1 = (k, 1, 1); X 2 = (-1, 2k, -2); X 3 = (-1, -1, -1). Với

những giá trị nào của k thì véctơ X:

a) Biểu diễn một cách duy nhất qua X 1 , X 2 , X 3b) Có vô số cách biểu diễn qua X 1 , X 2 , X 3c) Không biểu diễn được qua X 1 , X 2 , X 3

Bài 3. Hãy xác định m sao cho x là tổ hợp tuyến tính của các véctơ u, v, w:

bx bx ... bx bx 1bx bx ... bx bx 2................bx bx bx ... bx 2007bx bx bx ... bx ax 2008

1 2

2007

ax ax

ax

                        Tìm điều kiện đối với a và b để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 3. Cho hệ phương trình tuyến tính có 10 phương trình và 11 ẩn số. Biết rằng

a) Bộ số (1992, 1993, ..., 2002) là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.b) Khi xoá cột thứ j trong ma trận hệ số của hệ đã cho thì được một ma trận vuông có

định thức đúng bằng j (j = 1, 2, ..., 11). Hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình đã

cho.

Bài 3. Cho ma trận vuông A = nn (n > 1) có hạng là R. Ma trận A = nn, trong

đó Aij là phần phụ đại số của aij của ma trận A. Tìm hạng của ma trận A.

Bài 3. Trong một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2 và ngành 3. Cho

biết ma trận hệ số kỹ thuật là

0,3 0,2 0,A 0,1 0,3 0,0,3 0,3 0,

    

và mức cầu cuối cùng đối với hàng hóa

của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 6, 9, 8 triệu USD. Hãy xác định mức tổng cầu đối với hàng

hóa và tổng chi phí cho các hàng hóa được sử dụng làm đầu vào của sản xuất của mỗi

ngành.

Bài 3. Giả sử thị trường gồm 2 mặt hàng: hàng hóa 1 và hàng hóa 2, với hàm cung và

hàm cầu như sau:

hàng hóa 1: Qs1 = -3 + 5p 1 ; Qd1 = 12 – 4p 1 + 2p 2 ;hàng hóa 2: Qs2 = -1 + 4p 2 ; Qd1 = 15 + 2p 1 - p 2.

Hãy xác định giá và lượng cân bằng của hai mặt hàng.

Bài 3. Xét mô hình cân bằng thu nhập quốc dân:

Y = C + I 0 + G 0 ; C = 0,85Yd + 150 ; Yd = (1- t)Y ( t là thuế suất thu nhập)

Tính mức thu nhập quốc dân cân bằng và mức tiêu dùng cân bằng với Io = 200; Go = 450

(đơn vị: tỷ VNĐ) và thuế suất thu nhập t = 0,2.

Bài 3. Xét mô hình IS – LM với

C = 0,7Y + 25; I = 80 – 2r; G = Go;

L = 4Y – 30r; M = Mo

Tính mức thu nhập quốc dân cân bằng và lãi suất cân bằng với Go = 60; Mo = 1350 (nghìn

tỷ VNĐ).

Bài 3. Cho ma trận hệ số kỹ thuật của 2 ngành sản xuất  

2,0 4,

3,0 2,A và ma trận cầu

cuối cùng  



 100

B 30.

a)Tìm ma trận tổng cầu theo phương pháp Cramer.

b)Tính (E –A)-1 và nêu ý nghĩa của phần tử ở dòng 2 cột 1 của ma trận đó.

Bài 3. Trong một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2 và ngành 3. Cho

biết ma trận hệ số kỹ thuật là

0,3 0,2 0,A 0,1 0,3 0,0,3 0,3 0,

    

và mức cầu cuối cùng đối với hàng hóa

của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 6, 9, 8 triệu USD. Hãy xác định mức tổng cầu đối với hàng

hóa và tổng chi phí cho các hàng hóa được sử dụng làm đầu vào của sản xuất của mỗi

ngành.

Bài 3. Cho hàm cầu và hàm cung của thị trường 2 hàng hóa:

1 21 2

d 1 2 d 1 2S 1 s 2

Q 40 2p 0, 5p Q 90 0, 5p p ,Q 12 2p Q 20 2p

               

Xác định hai mặt hàng trên là hai mặt hàng thay thế hay bổ sung?

Để các nhà sản xuất cung ứng hàng hóa cho thị trường thì p 1 , p 2 phải thoả mãn

điều kiện gì?

Có ý kiến cho rằng khi Io và Go cùng tăng 1 đơn vị thì thu nhập Y tăng 2 đơn vị, ý

kiến này đúng hay sai?

Phân tích sự biến động của trạng thái cân bằng khi a, b thay đổi.

Bài 3. Cho mô hình kinh tế

Y = C + Io + Go (Io > 0, Go > 0)

C = a + b(Y-T) (a > 0, 00, 0Giải thích ý nghĩa kinh tế của a, b, c, d.Xác định trạng thái cân bằng (Y, C, T) bằng quy tắc Cramer.Phân tích sự biến động của trạng thái cân bằng khi a, b, c, d thay đổi.

Bài 3. Cho mô hình kinh tế

Y = C + I + Go (Go > 0)

C = 15 + b(Y-T) (0Xác định trạng thái cân bằng.Thu nhập cân bằng thay đổi như thế nào khi tiêu dùng cận biên đối với thu nhập

sau thuế thay đổi.

Xem thêm: Hãy Cho Biết Những Thành Tựu Văn Hóa Lớn Của Các Quốc Gia Cổ Đại Phương Đông

Mức thâm hụt ngân sách là bao nhiêu nếu nguồn duy nhất của chính phủ là thuế.

Chương 4. PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG