1. Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng thông thường2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki tổng hợp3. Chú ý khi phát triển thành đổi bất đẳng thức Bunhiacopxki4. Sai trái thường gặp khi áp dụng Bunhiacopxki5. Ví dụ như minh họa


Bạn đang xem: Bđt bunhia

Cùng Đọc tư liệu điểm danh những kiến thức và kỹ năng cơ bạn dạng đối với BĐT Bunhiacopxki em nhé:

Kiến thức cơ bản

Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng thông thường

1. Dạng bài xích toán áp dụng bất đẳng thức này hơi thông dụng trong chương trình học của các em:
(a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²Chứng minh: (a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²↔ (ac)² + (ad)² + (bc)² + (bd)² ≥ (ac)² + 2abcd + (bd)²↔ (ad)² + (bc)² ≥ 2abcd ↔ (ad)² - 2abcd + (bc)² ≥ 0 ↔ (ad - bc)² ≥ 0 => luôn luôn đúngDấu " = " xẩy ra khi (displaystyle frac ac=frac bd)2. Cùng với a,b,x,y là những số thực, ta có những bất đẳng thức sau:- ((ax + by)^2 le (a^2 + b^2)(x^2 + y^2))Dấu bằng xảy ra khi (displaystyle frac xa=frac yb)- (dfrac(a+b)^2x+y le dfraca^2x+dfracb^2y)(với x,y > 0, a,b là số thực)3. Với cỗ 3 số a, b, c với x, y, z ta có:- ((ax+by+cz)^2 le (a^2 +b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2))Dấu bằng xẩy ra khi (dfracxa= dfracyb= dfraczc)- (dfrac(a+b+c)^2x+y+z le dfraca^2x+dfracb^2y+dfracc^2z)(x,y,z >0, a,b là số thực)

Bất đẳng thức Bunhiacopxki tổng hợp

Dạng 1Cho hai dãy số thực (​​​​a_1,a_2,…a_n) và (b_1,b_2,…b_n) ta có:
((a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)^2leq (a_1^2+a_2^2…+a_n^2)(b_1^2+b_2^2…+b_n^2))Dấu "=" xẩy ra khi còn chỉ khi (displaystyle fraca_1b_1=fraca_2b_2=…=fraca_nb_n)với quy cầu nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bởi 0Đây là công thức do tía nhà toán học tập độc lập Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz vạc hiện cùng đề xuất.Chứng minh: Đặt (A=a_1^2+a_2^2+...+a_n^2,B=b_1^2+b_2^2+...+b_n^2,C=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)=> họ cần phải minh chứng được A.B > C²Nếu A = 0 thì (​​​​a_1=a_2=…a_n), bất đẳng thức được triệu chứng minh. Cũng như vậy nếu B = 0. Cho nên vì vậy ta chỉ cần xét trường thích hợp A cùng B không giống 0Với hồ hết x ta có:((a_1x-b_1)^2geq 0Rightarrow a_1^2x^2-2a_1b_1x+b_1^2geq 0 )((a_2x-b_2)^2geq 0Rightarrow a_2^2x^2-2a_2b_2x+b_2^2geq 0 ).........((a_nx-b_n)^2geq 0Rightarrow a_n^2x^2-2a_nb_nx+b_n^2geq 0)
Cộng từng vế của các bất đẳng thức bên trên được:((a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)x^2-2(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)x+(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)geq 0)tức là Ax² - 2Cx + B ≥ 0 (1)Vì (1) đúng với đa số x cần thay (x=fracCA) vào (1) ta được:(A.fracC^2A^2-2.fracC^2A+Bgeq 0Rightarrow B-fracC^2Ageq 0Rightarrow AB-C^2geq 0Rightarrow ABgeq C^2)Xảy ra đẳng thức khi còn chỉ khi(a_1x=b_1,a_2x=b_2,...,a_nx=b_n)tức là (displaystyle fraca_1b_1=fraca_2b_2=…=fraca_nb_n) với quy ước rằng giả dụ mẫu bởi 0 thì tử phải bởi 0 => đpcmMột số dạng Bất đẳng thức Bunhiacopxki khác mà em hoàn toàn có thể tham khảo:Dạng 2:(displaystyle sqrtleft( a_1^2+a_2^2+…+a_n^2 ight)left( b_1^2+b_2^2+…+b_n^2 ight)ge left| a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n ight|)Dấu "=" xảy ra khi còn chỉ khi (displaystyle fraca_1b_1=fraca_2b_2=…=fraca_nb_n)


Xem thêm: Cách Tính Ngày Tháng, Năm Giữa 2 Thời Điểm Cụ Thể Trong Excel

Dạng 3:(displaystyle sqrtleft( a_1^2+a_2^2+…+a_n^2 ight)left( b_1^2+b_2^2+…+b_n^2 ight)ge a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)Dấu "=" xẩy ra khi còn chỉ khi (displaystyle fraca_1b_1=fraca_2b_2=…=fraca_nb_n ≥ 0)Dạng 4: Cho hai hàng số tùy ý (​​​​a_1,a_2,…, a_n) cùng (x_1,x_2,… , x_n) ta có: với (x_1,x_2,… , x_n)> 0Khi đó ta có:(displaystyle fraca_1^2x_1+fraca_2^2x_2+…+fraca_n^2x_nge fracleft( a_1+a_2+…+a_n ight)^2x_1+x_2+…+x_n)Dấu bằng xẩy ra khi: (displaystyle fraca_1x_1=fraca_2x_2=…=fraca_nx_nge 0)

Lưu ý khi biến đổi bất đẳng thức Bunhiacopxki

Với bất đẳng thức cha biến a, b, c ta hoàn toàn có thể sử dụng một số phép biến hóa như:Với một số bất đẳng thức bao gồm giả thiết là ta hoàn toàn có thể đổi biến:

Sai lầm thường gặp mặt khi áp dụng Bunhiacopxki

Cho a là số thức dương thỏa mãn a ≥ 2. Tìm giá trị bé dại nhất của biểu thức:(displaystyle A=a^2+frac1a^2)Hướng dẫn:

Ví dụ minh họa

Tham khảo 2 bài toán áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki trong các bài toán hay gặp:Bài toán 1: Cho a, b, là những số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ dại nhất của biểu thức:(displaystyle A=sqrta^2+frac1a^2+sqrtb^2+frac1b^2)Bài làm:Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:(displaystyle left{ eginarraylsqrta^2+frac1a^2=frac1sqrt17.sqrtleft( a^2+frac1a^2 ight).left( 4^2+1^2 ight)ge frac1sqrt17left( 4a+frac1a ight)\sqrtb^2+frac1b^2=frac1sqrt17.sqrtleft( b^2+frac1b^2 ight).left( 4^2+1^2 ight)ge frac1sqrt17left( 4b+frac1b ight)endarray ight.)Bài toán 2: cho a, b, c là những số thực dương bất kỳ. Chứng tỏ rằng:(displaystyle sqrtfraca+ba+b+c+sqrtfracb+ca+b+c+sqrtfracc+aa+b+cle sqrt6) Bài làmÁp dụng BĐT Bunhiacopxki ta được