Một số bất đẳng thức đã được chứng minh thường sử dụng để để giải những bài tập BĐT cơ bản và cải thiện trong chương trình Toán THCS.

Bạn đang xem: Các bất đẳng thức

Bất đẳng thức trong chương trình Toán trung học cơ sở lớp (6, 7, 8, 9) là một dạng toán hay với khó. Những bài tập chứng minh BĐT thường là bài bác cuối cùng trong số đề thi để phân loại học sinh, vấn đề chứng minh bất đẳng thức thcs thi học sinh giỏi cấp quận (huyện), tỉnh, thành phố.

Bất đẳng thức thcs cơ bản với nâng cao

Các bất đẳng thức cấp 2 thường sử dụng là:

1. Bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means – Geometric Means):

Với các bộ số

*
không âm ta có:

*
a_1a_2…a_n" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="35" width="261" style="vertical-align: -12px;">

Ta tất cả 3 dạng thường gặp của bđt này là.

Xem thêm: Phim Người Chồng Thủy Chung Tập 44 Trên Todaytv, Phim Tâm Lý Tình Cảm Philippines 2019 Phimvuihd

Dạng 1:

*
a_1a_2…a_n" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="35" width="261" style="vertical-align: -12px;">

Dạng 2:

*
a_1a_2…a_n" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="270" style="vertical-align: -5px;">

Dạng 3:

*

Dấu “=” xảy ra khi

*

Đối với BĐT này ta cần thành thạo kĩ thuật sử dụng bđt AM-GM mang lại 2 số và 3 số

2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (Bunyakovsky)

Dạng tổng quát: mang đến là 2n số thực tùy ý lúc đó

Dạng 1:

*
(1)

Dạng 2:

*
(2)

Dạng 3:

*
(3)

Dấu “=” xảy ra ở (1)(2)

*

Dấu “=” xảy ra ở (3)

*

Quy ước mẫu bằng 0 thì tử bằng 0

3. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel giỏi còn gọi là BĐT Schwarz

Cho là những số >0

Ta có:

*

Dấu “=” xảy ra khi

*

4. Bất đẳng thức Chebyshev (Trê- bư-sép)

Dạng tổng quát Nếu

*

Hoặc

*

Dạng 1:

*

Dạng 2:

*

Nếu

*

hoặc

*

Dạng 1:

*

Dạng 2:

*

Bất đẳng thức Chebyshev ko được sử dụng trực tiếp nhưng phải chứng minh lại bằng biện pháp xét hiệu

Bất đẳng thức Chebyshev mang đến dãy số sắp thứ tự, bởi vì đó nếu những số chưa sắp thứ tự ta phải giả sử gồm quan hệ thứ tự giữa những số.

5. Bất đẳng thức Bernoulli

Với

*
-1;rge 1vee rle 0Rightarrow (1+x)^rge 1+rx" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="19" width="328" style="vertical-align: -5px;">

Nếu

*
r>0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="73" style="vertical-align: -2px;"> thì
*

Bất đẳng thức này còn có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp hoặc sử dụng BĐT AM-GM

6. Bất đẳng thức Netbitt

Ở đây mình chỉ nêu dạng thường dùng

Với x,y,z là các số thực >0

Bất đẳng thức Netbitt 3 biến:

*

Dấu “=” xảy ra lúc x=y=z>0

BĐT Netbitt 4 biến:

*

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=d>0

7. Bất đẳng thức vừa phải cộng – mức độ vừa phải điều hòa AM-HM (Arithmetic Means – Hamonic Means)

Nếu

*
là những số thực dương thì

*

Dấu “=” xảy ra lúc

*

8. Bất đẳng thức Schur

Dạng thường gặp

Cho a,b,c là những số ko âm

*

*
với r là số thực dương

Đẳng thức xảy ra lúc a=b=c hoặc a=0 và b=c và các hoán vị

9. Bất đẳng thức chứa dấu giá bán trị tuyệt đối

Với mọi số thực x,y ta có

*

Đẳng thức xảy ra lúc x,y cùng dấu hay

*

Với mọi số thực x,y ta có

*

Dấu “=” xảy ra khi cùng chỉ khi

*

10. Bất đẳng thức Mincopxki

Với 2 bộ n số

*
và
*
thì :

Dạng 1:

*

Dạng 2: đến x,y,z,a,b,c là các số dương ta có

*
a b c+sqrt<4>x y z leq sqrt<4>(a+x)(b+y)(c+z) sqrta c+sqrtb d leq sqrt(a+b)(c+d)" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="22" width="538" style="vertical-align: -6px;">