Nguyên hàm là trong những chuyên đề quan trọng của Giải tích Toán 12 với thường xuất hiện thêm nhiều trong số kì thi đại học. Vậy có những công thức nguyên hàm đặc biệt quan trọng nào cần nhớ? Team briz15.com Education sẽ giúp các em giải đáp và tìm nắm rõ hơn về bảng bí quyết nguyên hàm từ bỏ cơ bạn dạng đến nâng cao và phương pháp giải bài xích tập nguyên hàm phổ cập qua bài viết dưới đây.

Bạn đang xem: Công thức nguyên hàm tích phân


học tập livestream trực đường Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh bứt phá điểm số 2022 – 2023 trên briz15.com Education

Nguyên hàm là gì?

Trước khi, đi sâu vào tò mò công thức về nguyên hàm, những em cần nắm vững khái niệm nguyên hàm cũng tương tự các đặc điểm và định lý liên quan.

Định nghĩa nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác minh trên K, hôm nay hàm số F(x) được điện thoại tư vấn là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu như F’(x) = f(x) (với số đông x ∊ K, K hoàn toàn có thể là khoảng, đoạn hoặc nửa đoạn trên ℝ).

Kí hiệu nguyên hàm của hàm số f(x) là:


Định lý nguyên hàm

3 định lý của nguyên hàm là:

Định lý 1: mang sử F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) bên trên K. Khi đó, với từng hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một trong những nguyên hàm của f(x).Định lý 2: trên K, giả dụ F(x) là 1 trong những nguyên hàm của hàm số f(x) thì đều nguyên hàm của f(x) trên K đều sở hữu dạng F(x) + C, với C là một hằng số tùy ý.Định lý 3: trên K, toàn bộ hàm số f(x) liên tục đều có nguyên hàm.

Tính hóa học nguyên hàm

3 đặc điểm cơ phiên bản của nguyên hàm được trình bày như sau:


eginaligned&footnotesizeull extNếu f(x) là hàm số có nguyên hàm thi: (smallint f(x)dx)"=f(x) extvà \ &footnotesizesmallint f"(x)dx=f(x) +C.\&footnotesizeull extNếu F(x) gồm đạo hàm thì smallint d(F(x))=F(x)+C.\&footnotesizeull extTích của nguyên hàm với k là hằng số khác 0: smallint kf(x)dx=ksmallint f(x)dx.\&footnotesizeull extTổng, hiệu của nguyên hàm: smallint =smallint f(x)dxpm smallint g(x)dxendaligned

Bảng bí quyết nguyên hàm cơ bản, không ngừng mở rộng và nâng cao

Mỗi dạng nguyên hàm đều phải có những cách làm riêng. Những phương pháp này đã có tổng hòa hợp thành các bảng sau đây để những em thuận lợi phân loại, ghi lưu giữ và áp dụng chính xác.


*

*

*

*

2 cách thức giải bài bác tập nguyên hàm phổ biến

Phương pháp đổi trở nên số

Đây là phương thức được áp dụng rất nhiều lúc giải nguyên hàm. Vày vậy, những em rất cần được nắm vững phương pháp này nhằm giải các bài toán nguyên hàm cấp tốc và đúng mực hơn.

Phương pháp đổi trở nên loại 1:

Cho hàm số u = u(x) gồm đạo hàm thường xuyên trên K, y = f(u) liên tục để f xác định trên K với ∫f(u)du = F(u) + C thì:

∫fu"(x)dx = F + C

Cách giải:

Đầu tiên, lựa chọn t = φ(x) với tính vi phân nhị vế: dt = φ"(t)dt.

Sau đó, đổi khác biểu thức thành: f(x)dx = f<φ(t)>φ"(t)dt = g(t)dt.

Kết quả: I = ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Phương pháp đổi biến đổi loại 2: Khi đề bài xích cho hàm số f(x) tiếp tục trên K với x = φ(t) là 1 trong hàm số xác định, liên tục trên K và bao gồm đạo hàm là φ"(t). Thời điểm này:

∫f(x)dx = ∫f<φ(t)>.φ"(t)dt

Cách giải:

Đầu tiên, lựa chọn x = φ(t) và lấy vi phân nhị vế: dx = φ"(t)dt.

Thực hiện vươn lên là đổi: f(x)dx = f<φ(t)>φ"(t)dt = g(t)dt.

Tính: ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Phương pháp nguyên hàm từng phần

Phương pháp chung

Định lý: Nếu hai hàm số u(x) cùng v(x) có đạo hàm thường xuyên trên K thì:


small smallint u(x)v"(x)dx=u(x)v(x)-smallint v(x)u"(x)dx exthay smallint udv=uv-smallint vdu\ ( extvới du=u"(x)dx, dv=v"(x)dx)
Cách giải:

Trước hết, các em cần biến hóa tích phân trước tiên về dạng:


I=int f(x)dx=int f_1(x)f_2(x)dx
Tiếp theo, đặt:


egincasesu=f_1(x)\dv=f_2(x)endcasesimplies egincasesdu=f"_1(x)dx\v=int f_2(x)dxendcases
Lúc này thì những em sẽ có:


smallint udv=uv-smallint vdu
Tùy nằm trong vào từng dạng toán ví dụ mà các em áp dụng cách thức sao cho phù hợp.

Các dạng nguyên hàm từng phần thường gặp

Dạng 1:


*

Dạng 2:


Dạng 3:


Bài tập về cách làm nguyên hàm

Bài 1 Trang 126 SGK Toán 12

Đề bài:

a. Hãy nêu tư tưởng nguyên hàm của hàm số mang đến trước f(x) bên trên một khoảng.

b. Cách thức tính nguyên hàm từng phần là gì? Đưa ra ví dụ minh họa cho phương pháp tính đã nêu.

Hướng dẫn giải bài xích tập:

a. Xét hàm số y = f(x) xác minh trên tập khẳng định D.

Hàm số Y = F(x) được call là nguyên hàm của hàm số y = f(x) bên trên D khi Y = F(x) vừa lòng điều kiện F"(x) = f(x) ∀ x ∈ D.

Xem thêm: Tổng Số Cạnh Của Một Hình Bát Diện Đều Là, Hình Bát Diện Đều Có Tất Cả Bao Nhiêu Cạnh

b.

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần được quan niệm như sau:

Cho 2 hàm số u = u(x) với v = v(x) bao gồm đạo hàm thường xuyên trên D, lúc ấy ta bao gồm công thức: