Tổng hợp kỹ năng cần cụ vững, các dạng bài tập và thắc mắc có năng lực xuất hiện trong đề thi HK2 Toán học 10 sắp tới tới


Phần 1

BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1. Bất phương trình cùng hệ bất phương trình

Các phép thay đổi bất phương trình:

a) Phép cộng: Nếu f(x) xác định bên trên D thì P(x) 0, (forall )x ( in ) D thì P(x) Q(x).f(x)

c) Phép bình phương: Nếu P(x) ( ge )0 và Q(x) ( ge )0, (forall )x ( in ) D thì P(x) 0 ta có:

(left| f(x) ight| le a Leftrightarrow - a le f(x) le a)

(left| f(x) ight| ge a Leftrightarrow left< eginarraylf(x) le - a\f(x) ge aendarray ight.)

3. Phương trình với hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

a. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình ax + by ( le c) (1) ((a^2 + b^2)( e 0))

Bước 1: trong mp Oxy, vẽ đường thẳng ((Delta )): ax + by ( = c)

Bước 2: Lấy (M_o(x_o;y_o) otin (Delta )) (thường lấy (M_o equiv O))

Bước 3: Tính axo + byo và so sánh axo + byo và c.

Bạn đang xem: Công thức toán hình 10 học kì 2

Bước 4: Kết luận

Nếu axo + byo o là miền nghiệm của ax + by ( le c)

Nếu axo + byo > c thì nửa mp bờ ((Delta )) ko chứa Mo là miền nghiệm của ax + by ( le c)

b. Bỏ bờ miền nghiệm của bpt (1) ta được miền nghiệm của bpt ax + by c)được xác định tương tự.

c. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn:

Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại.

Sau khi làm như bên trên lần lượt đối với tất cả các bpt vào hệ trên cùng một mp tọa độ, miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bpt đã cho.

4. Vết của tam thức bậc hai

a. Định lí về vệt của tam thức bậc hai:

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c, a( e )0, (Delta )= b2 – 4ac

* trường hợp (Delta )0), (forall )x( in )R

* nếu (Delta )= 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a (a..f(x)>0), (forall )x( e )(frac - b2a)

* nếu như (Delta )> 0 thì f(x) cùng dấu với thông số a khi x 1 hoặc x > x2; f(x) trái dấu với hệ số a lúc x1 2. (Với x1, x2 là nhì nghiệm của f(x) cùng x12)

Bảng xét dấu: f(x) = ax2 + bx + c, a( e )0, (Delta )= b2– 4ac > 0

*

b. Vệt của nghiệm số

Cho f(x) = ax2 + bx + c, a( e )0

a) ax2 + bx + c = 0 gồm nghiệm ( Leftrightarrow )(Delta )= b2– 4ac ( ge )0

b) ax2 + bx + c = 0 tất cả 2 nghiệm trái lốt ( Leftrightarrow )a.c 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm thuộc dấu ( Leftrightarrow left{ eginarraylDelta > 0\a.c > 0endarray ight.)

c) ax2 + bx + c = 0 có những nghiệm dương ( Leftrightarrow )(left{ eginarraylDelta ge 0\P = x_1x_2 = fracca > 0\S = x_1 + x_2 = - fracba > 0endarray ight.)

d) ax2 +bx +c = 0 có các nghiệm âm ( Leftrightarrow )(left{ eginarraylDelta ge 0\P = x_1x_2 = fracca > 0\S = x_1 + x_2 = - fracba Chú ý: vết của tam thức bậc hai luôn luôn cùng dấu với thông số a lúc (Delta 2 +bx +c >0, (forall )x ( Leftrightarrow )(left{ eginarrayla > 0\Delta 2 +bx +c 2 +bx +c ( ge )0, (forall )x ( Leftrightarrow )(left{ eginarrayla > 0\Delta le 0endarray ight.)

iv) ax2 +bx +c ( le )0, (forall )x ( Leftrightarrow )(left{ eginarrayla 0 (Hoặc f(x) ( ge )0, f(x) 2 + bx + c, a( e )0 )

b. Bí quyết giải:

Để giải bất pt bậc hai, ta vận dụng định lí vầ lốt tam thức bậc hai

Bước 1: Đặt vế trái bằng f(x), rồi xét lốt f(x)

Bước 2: phụ thuộc bảng xét dấu và chiều của bpt để tóm lại nghiệm của bpt


Phần 2

GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC

1. Những hệ thức lượng giác cơ bản

(eginarrayl1)sin ^2alpha + cos ^2alpha = 1\2) an alpha = fracsin alpha cos alpha left( alpha e fracpi 2 + kpi ight)\3)cot alpha = fraccos alpha sin alpha left( alpha e kpi ight)endarray)

(eginarrayl4)1 + an ^2alpha = frac1cos ^2alpha (alpha e fracpi 2 + kpi )\5)1 + cot ^2alpha = frac1sin ^2alpha (alpha e kpi )\6) an alpha .cot alpha = 1(alpha e frackpi 2)endarray)

2. Quý giá lượng giác của góc (cung) có tương quan đặc biệt

(eginarraylsin alpha = sin left( alpha + k2pi ight)\cos alpha = cos left( alpha + k2pi ight)endarray)

(eginarrayl an alpha = an left( alpha + kpi ight)\cot alpha = cot left( alpha + kpi ight)endarray)

+) Góc đối nhau ((alpha ) và ( - alpha ))

(cos ( - alpha ),, = ,,cos alpha )

(sin ( - alpha ),, = ,, - sin alpha )

( an ( - alpha ),, = ,, - an alpha )

(cot ( - alpha ),, = ,, - cot alpha )

+) Góc bù nhau ((alpha ) và (pi - alpha ))

(sin (pi - alpha ),, = ,,sin alpha )

(cos (pi - alpha ),, = ,, - cos alpha )

( an (pi - alpha ),, = ,, - an alpha )

(cot (pi - alpha ),, = ,, - cot alpha )

+) Góc phụ nhau((alpha ) và (fracpi 2 - alpha ))

(sin left( fracpi 2 - alpha ight),, = ,,,cos alpha )

(cos left( fracpi 2 - alpha ight),, = ,,,sin alpha )

( an left( fracpi 2 - alpha ight),, = ,,,cot alpha )

(cot left( fracpi 2 - alpha ight),, = ,,, an alpha )

*

3. Phương pháp cộng

(eginarraylsin (a + b) = sin a.cos b + sin b.cos a\sin (a - b) = sin a.cos b - sin b.cos a\cos (a + b) = cos a.cos b - sin a.sin b\cos (a - b) = cos a.cos b + sin a.sin bendarray)

(eginarrayl an (a + b) = frac an a + an b1 - an a. an b\ an (a - b) = frac an a - an b1 + an a. an bendarray)

4. Cách làm nhân đôi, hạ bậc

a) phương pháp nhân đôi

(sin 2alpha = 2sin alpha .cos alpha )

(eginarraylcos 2alpha \ = cos ^2alpha - sin ^2alpha ,\ = 2cos ^2alpha - 1\ = ,,1 - 2sin ^2alpha endarray)

( an 2alpha ,, = ,,frac2 an alpha 1 - an ^2alpha )

b) phương pháp hạ bậc

(eginarraycsin ^2alpha ,, = ,,frac1 - cos 2alpha 2\cos ^2alpha , = ,,frac1 + cos 2alpha 2\ an ^2alpha , = ,,frac1 - cos 2alpha 1 + cos 2alpha endarray)

5. Công thức biến đổi tích thành tổng

(eginarraylcos acos b = frac12left< cos (a + b) + cos (a - b) ight>\sin asin b = - frac12left< cos (a + b) - cos (a - b) ight>\sin acos b = frac12left< sin (a + b) + sin (a - b) ight>endarray)

6. Bí quyết biển thay đổi tổng thành tích

(eginarraylcos a + cos b = 2cos fraca + b2.cos fraca - b2\cos a - cos b = - 2sin fraca + b2.sin fraca - b2\sin a + sin b = 2sin fraca + b2.cos fraca - b2\sin a - sin b = 2cos fraca + b2.sin fraca - b2endarray)

(eginarrayl an a + an b = fracsin (a + b)cos a.cos b\ an a - an b = fracsin (a - b)cos a.cos b\cot a + cot b = fracsin (a + b)sin a.sin b\cot a - cot b = fracsin (b - a)sin a.sin bendarray)


Phần 3

HÌNH HỌC

1. Hệ thức lượng vào tam giác

a. Những hệ thức lượng trong tam giác

Cho tam giác ABC gồm BC = a, AC = b, AB = c, trung con đường AM = (m_a), BN = (m_b), CP = (m_c)

Định lý cosin

a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA;

b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB;

c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC

Hệ quả:

cosA = (fracb^2 + c^2 - a^22bc)

cosB = (fraca^2 + c^2 - b^22ac)

cosC = (fraca^2 + b^2 - c^22ab)

Định lý sin

(fracasin A = fracbsin B = fraccsin C)= 2R

(với R là nửa đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC )

b. Độ dài đường trung tuyến của tam giác

(m_a^2 = fracb^2 + c^22 - fraca^24 = frac2(b^2 + c^2) - a^24);

(m_b^2 = fraca^2 + c^22 - fracb^24 = frac2(a^2 + c^2) - b^24)

(m_c^2 = fracb^2 + a^22 - fracc^24 = frac2(b^2 + a^2) - c^24)

c. Những công thức tính diện tích s tam giác

S = (frac12)aha = (frac12)bhb  = (frac12)chc

S = (frac12)ab.sinC = (frac12)bc.sinA = (frac12)ac.sinB

S = (fracabc4R)

S = pr

S = (sqrt p(p - a)(p - b)(p - c) ) cùng với (p = frac12(a + b + c) )

2. Phương trình đường thẳng

* Để viết được phương trình mặt đường thẳng dạng tham số cần biết được toạ độ một điểm và 1 vectơ chỉ phương

* Để viết được phương trình đường thẳng dạng tổng quát cần phải biết được toạ độ một điểm và 1 vectơ phân phát tuyến

a. Phương trình tham số của mặt đường thẳng d

(left{ eginarray*20cx = x_0 + tu_1\y = y_0 + tu_2endarray ight.) cùng với M ((x_0;y_0))(in d) và (vec u = (u_1;u_2)) là vectơ chỉ phương (VTCP)

b. Phương trình tổng thể của đường thẳng d

a(x – (x_0)) + b(y – (y_0)) = 0 giỏi ax + by + c = 0

(với c = – a(x_0)– b(y_0) với a2 + b2 ( e) 0) trong đó M ((x_0;y_0)) (in d) cùng (vec n = (a;b)) là vectơ pháp tuyến (VTPT)

+) Phương trình đường thẳng giảm hai trục tọa độ tại nhị điểm A(a; 0) và B(0; b) với (ab e 0) là: (fracxa + fracyb = 1)

+) Phương trình mặt đường thẳng đi qua điểm M ((x_0;y_0)) có thông số góc k  có dạng: y – (y_0)= k (x – (x_0))

c. Khoảng cách từ mội điểm M ((x_0;y_0)) đến đường thẳng d: ax + by + c = 0 được tính theo công thức:

d(M; d) = (frac ax_0 + bx_0 + c ightsqrt a^2 + b^2 )

d. Vị trí tương đối của hai tuyến đường thẳng

(Delta _1): (a_1x + b_1y + c_1)= 0

(Delta _2): (a_2x + b_2y + c_2)= 0

(Delta _1) cắt (Delta _2)( Leftrightarrow ) (fraca_1a_2 e fracb_1b_2);

Tọa độ giao điểm của (Delta _1)và (Delta _2) là nghiệm của hệ (left{ eginarrayla_1x + b_1y + c_1 m = 0\a_2x + b_2y + c_2 m = 0 endarray ight.)

(Delta _1)//(Delta _2)( Leftrightarrow )(fraca_1a_2 = fracb_1b_2 e fracc_1c_2)

(Delta _1)( equiv )(Delta _2)( Leftrightarrow )(fraca_1a_2 = fracb_1b_2 = fracc_1c_2) (với (a_2),(b_2),(c_2)khác 0)

3. Đường tròn

a. Phương trình mặt đường tròn chổ chính giữa I(a; b) bán kính R tất cả dạng:

(x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1)

hay x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (2)

với c = a2 + b2 – R2

+) Với đk a2 + b2 – c > 0 thì phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình đường tròn trung khu I(a; b) bán kính R

+) Vị trí kha khá của đường thẳng và mặt đường tròn

d cắt ( C ) ( Leftrightarrow ) d(I; d) R

d tiếp xúc với ( C ) ( Leftrightarrow ) d(I; d) = R

b. Phương trình tiếp tuyến với con đường tròn

Dạng 1: Điểm A thuộc mặt đường tròn

Dạng 2: Điểm A ko thuộc con đường tròn

Dạng 3: Biết phương trình tiếp tuyến đường của đường tròn vuông góc hay tuy vậy song với cùng một đường thẳng nào đó

4. Phương trình Elip

a.

Xem thêm: Tổng Số Nguyên Tử Có Trong 3 Phân Tử Khối Của Hợp Chất Co2 Là Bao Nhiêu?

trong mặt phẳng Oxy đến 2 điểm F1(-c; 0), F2(c; 0) và một vài a (a > c > 0, a = const).

Elip (E) là tập hợp các điểm M: F1M + F2M = 2a. Giỏi (E) =( M/F_1M + F_2M = 2a )

b. Phương trình chính tắc của elip (E) là: (fracx^2a^2 + fracy^2b^2 = 1) (a2 = b2 + c2)

c. Các thành phần của elip (E) là:

Hai tiêu điểm: F1(-c; 0), F2(c; 0)

Bốn đỉnh: A1(-a; 0), A2(a; 0), B1(0;-b), B2(0;b)

Độ dài trục lớn: A1A2 = 2a

Độ dài trục nhỏ: B1B2 = 2b

Tiêu cự F1F2 = 2c

d. Hình dạng của elip (E)

+) (E) có 2 trục đối xứng là Ox, Oy và có trọng tâm đối xứng là gốc tọa độ

+) Mọi điểm của (E) ngoại trừ 4 đỉnh đều nằm vào hình chữ nhật có kích thước 2a và 2b giới hạn bởi các đường thẳng x = ( pm )a, y = ( pm )b