Định nghĩa1: Một hàm được mang đến là tất cả cực đại cục bộ tại một điểm trường hợp tồn trên một vùng kề bên của điểm sao cho ngẫu nhiên điểm như thế nào M cùng với tọa độ (x, y) bất đẳng thức được đáp ứng:. Trong trường hợp này, tức là số gia của hàmĐịnh nghĩa2: Một hàm được cho là gồm cực tiểu toàn cục tại một điểm nếu tồn trên một vùng bên cạnh của điểm sao cho ngẫu nhiên điểm nào M cùng với tọa độ (x, y) bất đẳng thức được đáp ứng:. Trong trường đúng theo này, có nghĩa là số gia của hàm> 0.

Bạn đang xem: Cực trị có điều kiện

Định nghĩa 3: Điểm tối thiểu và điểm tối đa toàn cục được gọi là vấn đề cực trị.

Cực trị gồm điều kiện

Khi tìm kiếm rất trị của một hàm các biến, các vấn đề thường nảy sinh tương quan đến mẫu gọi là cực trị có điều kiện. Khái niệm này rất có thể được giải thích bằng lấy ví dụ về một hàm nhì biến.

Cho một hàm cùng một cái được cho trước L trên bề mặt 0xy. Nhiệm vụ là xếp sản phẩm L kiếm tìm một điểm như vậy p. (x, y), trong những số ấy giá trị của hàm lớn số 1 hoặc nhỏ nhất so với những giá trị của hàm này tại những điểm trực thuộc đoạn thẳng L nằm ngay sát điểm phường Điểm bởi thế P tập trung điểm rất trị gồm điều kiện tác dụng dòng L. Không y như điểm cực trị thông thường, giá trị hàm trên điểm cực trị có điều kiện được so sánh với các giá trị hàm không phải tại tất cả các điểm của một trong những vùng sát bên của nó, nhưng mà chỉ ở mọi điểm nằm trê tuyến phố L.

Rõ ràng là quan điểm của thái cực thông thường (họ cũng nói cực đoan vô điều kiện) cũng là 1 điểm cực trị có điều kiện cho bất kỳ đường thẳng nào trải qua điểm này. Tất nhiên, trái lại là không đúng: một điểm rất trị có điều kiện hoàn toàn có thể không phải là 1 trong những điểm cực trị thông thường. Hãy nhằm tôi giải thích điều này bởi một ví dụ solo giản. Đồ thị của hàm số là bán cầu trên (Phụ lục 3 (Hình 3)).

*

Hàm này có giá trị cực đại tại điểm gốc; nó tương xứng với đầu M chào bán cầu. Nếu dòng L có một đường thẳng đi qua những điểm NHƯNG với TẠI(phương trình của cô ấy ấy x + y-1 = 0), thì rõ ràng về khía cạnh hình học rằng so với các điểm của mặt đường thẳng này, giá chỉ trị lớn nhất của hàm đã có được tại điểm nằm tại giữa giữa các điểm NHƯNG và TẠI.Đây là vấn đề cực trị có đk (cực đại) của hàm trên mẫu cho trước; nó khớp ứng với điểm M 1 trên chào bán cầu, và hoàn toàn có thể thấy từ hình vẽ rằng thiết yếu có ngẫu nhiên điểm rất trị thông thường nào làm việc đây.

*

Lưu ý rằng vào phần ở đầu cuối của bài toán tìm giá bán trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm trong một vùng đóng, họ phải tìm các giá trị rất trị của hàm bên trên biên của vùng này, tức là. Trên một trong những dòng, và bởi đó giải quyết và xử lý vấn đề cho một cực trị gồm điều kiện.

Bây giờ chúng ta hãy tiến hành tìm kiếm các điểm rất trị có đk của hàm Z = f (x, y) với điều kiện các biến x với y gồm quan hệ cùng với nhau vì phương trình (x, y) = 0. Mối quan hệ này đang là được call là phương trình ràng buộc. Nếu như từ phương trình kết nối y rất có thể được biểu hiện rõ ràng theo x: y u003d (x), chúng ta nhận được một hàm của một biến đổi Z u003d f (x, (x)) u003d Ф (x).

Sau lúc tìm thấy quý giá của x mà lại tại đó hàm này đạt rất trị và tiếp đến xác định các giá trị tương xứng của y từ bỏ phương trình kết nối, bọn họ sẽ thu được những điểm mong muốn của cực trị bao gồm điều kiện.

Vì vậy, trong lấy một ví dụ trên, từ bỏ phương trình truyền x + y-1 = 0, họ có y = 1-x. Trường đoản cú đây

Dễ dàng khám nghiệm rằng z đạt cực lớn tại x = 0,5; nhưng kế tiếp từ phương trình liên kết y = 0,5, và cửa hàng chúng tôi nhận được đúng mực điểm P, được tra cứu thấy từ các xem xét hình học.

Bài toán cực trị có đk được giải rất dễ dàng và đơn giản ngay cả lúc phương trình ràng buộc rất có thể được màn biểu diễn bằng các phương trình tham số x = x (t), y = y (t). Thay các biểu thức x cùng y vào hàm này, bọn họ lại mang lại với việc tìm rất trị của hàm một biến.

Nếu phương trình ràng buộc bao gồm dạng tinh vi hơn và chúng ta không thể biểu lộ rõ ràng một trở nên này theo đổi mới khác, hoặc thay thế sửa chữa nó bởi phương trình tham số, thì vấn đề tìm điểm rất trị có điều kiện sẽ trở nên khó khăn hơn. Chúng ta sẽ liên tiếp giả sử rằng vào biểu thức của hàm z = f (x, y) trở nên (x, y) = 0. Đạo hàm toàn phần của hàm z = f (x, y) bằng:

Đạo hàm y` sống đâu, được search thấy theo quy tắc phân minh của hàm ẩn. Tại các điểm của rất trị có điều kiện, đạo hàm toàn phần kiếm được phải bằng 0; vấn đề này cho ta một phương trình liên quan đến x cùng y. Bởi vì chúng cũng phải thỏa mãn phương trình ràng buộc bắt buộc ta nhận ra một hệ nhì phương trình với nhì ẩn số

Hãy đổi khác hệ thống này thành một hệ thống dễ ợt hơn nhiều bằng cách viết phương trình thứ nhất dưới dạng tỷ lệ và đưa vào trong 1 ẩn số phụ mới:

*

(phía trước gồm đặt vết trừ để tiện theo dõi). Có thể dễ dàng chuyển từ các giá trị bằng này sang khối hệ thống sau:

f` x = (x, y) + `x (x, y) = 0, f` y (x, y) +` y (x, y) = 0 (*),

mà với phương trình ràng buộc (x, y) = 0, chế tạo thành một hệ cha phương trình với các ẩn số x, y và.

Các phương trình (*) này dễ nhớ nhất bằng cách sử dụng luật lệ sau: để tìm các điểm có thể là điểm cực trị có điều kiện của hàm

Z = f (x, y) cùng với phương trình buộc ràng (x, y) = 0, bạn phải tạo một hàm phụ

F (x, y) = f (x, y) + (x, y)

Hằng số nơi đâu và viết phương trình để tìm những điểm rất trị của hàm số này.

Theo quy luật, hệ phương trình được hướng dẫn và chỉ định chỉ hỗ trợ các đk cần thiết, có nghĩa là không bắt buộc mọi cặp quý hiếm x với y vừa lòng hệ thức này đều là 1 trong những điểm cực trị tất cả điều kiện. Tôi sẽ không đưa ra những điều kiện khá đầy đủ cho những điểm rất trị bao gồm điều kiện; siêu thường nội dung rõ ràng của vấn đề tự nó nhắc nhở điểm tìm được là gì. Kỹ thuật được biểu hiện để giải những bài toán cho 1 cực trị có điều kiện được điện thoại tư vấn là phương thức nhân Lagrange.

Đầu tiên họ hãy chú ý trường thích hợp của một hàm hai biến. Cực trị có đk của hàm $ z = f (x, y) $ trên điểm $ M_0 (x_0; y_0) $ là rất trị của hàm này, đã đạt được với điều kiện là những biến $ x $ cùng $ y $ vào vùng sát bên của điểm này thỏa mãn phương trình ràng buộc $ varphi (x, y) = 0 $.

Tên rất trị "có điều kiện" là do điều kiện bổ sung cập nhật $ varphi (x, y) = 0 $ được áp dụng cho những biến. Nếu rất có thể biểu diễn một vươn lên là dưới dạng không giống từ phương trình kết nối, thì bài xích toán xác định cực trị có điều kiện được rút gọn thành bài toán về rất trị thường thì của hàm một biến. Ví dụ: trường hợp $ y = psi (x) $ theo sau từ bỏ phương trình ràng buộc, tiếp nối thay $ y = psi (x) $ thành $ z = f (x, y) $, họ nhận được một hàm của một vươn lên là $ z = f left (x, psi (x) right) $. Mặc dù nhiên, trong trường đúng theo chung, phương thức này không nhiều được sử dụng, do vậy cần được có một thuật toán mới.

Phương pháp nhân Lagrange mang lại hàm nhì biến.

Phương pháp của nhân Lagrange là để tìm rất trị tất cả điều kiện, hàm Lagrange được cấu tạo: $ F (x, y) = f (x, y) + lambda varphi (x, y) $ (tham số $ lambda $ được hotline là số nhân Lagrange). Những điều kiện cực đại quan trọng được gửi ra vì một hệ phương trình mà lại từ đó các điểm đứng lặng được xác định:

$$ left ( begin (căn chỉnh) & frac ( 1 phần F) ( một phần x) = 0; \ & frac ( một trong những phần F) ( 1 phần y) = 0; \ & varphi (x, y) = 0. kết thúc (căn chỉnh) phải. $$

Kí hiệu $ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 $. Ví như tại điểm đứng yên ổn $ d ^ 2F> 0 $, thì hàm $ z = f (x, y) $ có điều kiện cực tiểu tại điểm này, tuy vậy nếu $ d ^ 2F 0 $ thì $ d ^ 2F$ 0, tức là bọn họ có đk tối thiểu của hàm $ z = f (x, y) $.

Lưu ý về dạng của định thức $ H $. Hiện an

$$ H = - left | begin (array) (ccc) 0 & varphi_ (x) ^ (") & varphi_ (y) ^ (") \ varphi_ (x) ^ (") & F_ (xx) ^ ("") & F_ (xy) ^ ("") \ varphi_ (y) ^ (") và F_ (xy) ^ (" ") và F_ (yy) ^ (" ") kết thúc (array) right | $$

Trong trường thích hợp này, quy tắc được xây cất ở trên biến đổi như sau: trường hợp $ H> 0 $, thì hàm có đk tối thiểu và đối với $ HSoạn hàm Lagrange $ F (x, y) = f (x, y) + lambda varphi (x, y) $Giải hệ thống $ left ( begin (căn chỉnh) & frac ( 1 phần F) ( một trong những phần x) = 0; \ & frac ( một trong những phần F) ( một phần y) = 0; \ & varphi (x, y) = 0. over (căn chỉnh) phải. $Xác định thực chất của rất trị tại mỗi điểm đứng lặng trong đoạn trước. Để triển khai việc này, hãy sử dụng bất kỳ phương pháp như thế nào sau đây: biên soạn định thức $ H $ và tìm tín hiệu của nóTính đến phương trình ràng buộc, hãy tính vệt của $ d ^ 2F $

Phương pháp nhân Lagrange cho các hàm của n biến

Giả sử họ có một hàm bao gồm $ n $ các biến $ z = f (x_1, x_2, ldots, x_n) $ và những phương trình buộc ràng $ m $ ($ n> m $):

$$ varphi_1 (x_1, x_2, ldots, x_n) = 0; U0026quot; varphi_2 (x_1, x_2, ldots, x_n) = 0, ldots, varphi_m (x_1, x_2, ldots, x_n) = 0. $$

Ký hiệu những số nhân Lagrange là $ lambda_1, lambda_2, ldots, lambda_m $, chúng tôi soạn hàm Lagrange:

$$ F (x_1, x_2, ldots, x_n, lambda_1, lambda_2, ldots, lambda_m) ​​= f + lambda_1 varphi_1 + lambda_2 varphi_2 + ldots + lambda_m varphi_m $$

Các điều kiện cần thiết để sống thọ một điểm cực trị có đk được đưa ra vì một hệ phương trình mà từ đó tọa độ của những điểm đứng yên ổn và các giá trị của nhân Lagrange được tìm thấy:

$$ left ( begin (căn chỉnh) và frac ( 1 phần F) ( một phần x_i) = 0; (i = overline (1, n)) \ & varphi_j = 0; (j = overline (1, m)) end (căn chỉnh) phải. $$

Có thể mày mò xem một hàm có mức giá trị cực tiểu có điều kiện hay cực đại có điều kiện tại điểm tìm kiếm được, như lúc trước đây, bằng cách sử dụng lốt $ d ^ 2F $. Nếu tại điểm tìm kiếm được $ d ^ 2F> 0 $, thì hàm có đk tối thiểu, cơ mà nếu $ d ^ 2FNếu những dấu hiệu của trẻ em vị thành niên ở góc cạnh là $ H_ (2m + 1), ; những ma trận H_ (2m + 2), ldots, H_ (m + n) $ $ L $ trùng với vệt của $ (- 1) ^ m $ thì điểm dừng đã nghiên cứu là điểm cực đái có đk của hàm $ z = f (x_1, x_2, x_3, ldots, x_n) $.Nếu những dấu hiệu của trẻ con vị thành niên ở góc là $ H_ (2m + 1), ; H_ (2m + 2), ldots, H_ (m + n) $ thay thế và dấu của $ H_ (2m + 1) $ trùng với vệt của số $ (- 1) ^ (m + 1 ) $, thì trạm dừng được nghiên cứu và phân tích là điểm cực đại có điều kiện của hàm $ z = f (x_1, x_2, x_3, ldots, x_n) $.

Ví dụ 1

Tìm cực trị có điều kiện của hàm $ z (x, y) = x + 3y $ với đk $ x ^ 2 + y ^ 2 = 10 $.

Giải hình học tập của việc này như sau: yêu cầu tìm giá bán trị lớn nhất và nhỏ nhất của vận dụng của mặt phẳng $ z = x + 3y $ cho các giao điểm của chính nó với hình trụ $ x ^ 2 + y ^ 2 = 10 $.

Hơi khó khăn để mô tả một phát triển thành này theo đổi mới khác tự phương trình ràng buộc và sửa chữa thay thế nó vào hàm $ z (x, y) = x + 3y $, vày vậy chúng ta sẽ sử dụng phương thức Lagrange.

Ký hiệu $ varphi (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2-10 $, shop chúng tôi soạn hàm Lagrange:

$$ F (x, y) = z (x, y) + lambda varphi (x, y) = x + 3y + lambda (x ^ 2 + y ^ 2-10); \ frac ( một phần F) ( một phần x) = 1 + 2 lambda x; frac ( một trong những phần F) ( 1 phần y) = 3 + 2 lambda y. $$

Hãy cùng viết hệ phương trình xác định điểm đứng yên của hàm Lagrange:

$$ left ( begin (căn chỉnh) và 1 + 2 lambda x = 0; \ & 3 + 2 lambda y = 0; \ và x ^ 2 + y ^ 2-10 = 0. kết thúc (căn chỉnh) phải. $$

Nếu chúng ta giả sử $ lambda = 0 $, thì phương trình đầu tiên trở thành: $ 1 = 0 $. Công dụng là xích míc nói rằng $ lambda neq 0 $. Với đk $ lambda neq 0 $, từ phương trình đầu tiên và thứ hai, họ có: $ x = - frac (1) (2 lambda) $, $ y = - frac (3) (2 lambda) $. Thay các giá trị thu được vào phương trình thiết bị ba, ta được:

$$ left (- frac (1) (2 lambda) right) ^ 2 + left (- frac (3) (2 lambda) right) ^ 2-10 = 0; \ frac (1) (4 lambda ^ 2) + frac (9) (4 lambda ^ 2) = 10; lambda ^ 2 = frac (1) (4); left < begin (căn chỉnh) & lambda_1 = - frac (1) (2); \ và lambda_2 = frac (1) (2). kết thúc (căn chỉnh) phải. \ begin (căn chỉnh) & lambda_1 = - frac (1) (2); U0026quot; x_1 = - frac (1) (2 lambda_1) = 1; U0026quot; y_1 = - frac (3) (2 lambda_1) = 3; \ và lambda_2 = frac (1) (2); U0026quot; x_2 = - frac (1) (2 lambda_2) = - 1; U0026quot; y_2 = - frac (3) (2 lambda_2) = - 3. over (căn chỉnh) $$

Vậy hệ có hai nghiệm: $ x_1 = 1; ; y_1 = 3; ; lambda_1 = - frac (1) (2) $ với $ x_2 = -1; ; y_2 = -3; ; lambda_2 = frac (1) (2) $. Họ hãy kiếm tìm ra đặc điểm của cực trị tại mỗi điểm đứng yên: $ M_1 (1; 3) $ cùng $ M_2 (-1; -3) $. Để làm điều này, công ty chúng tôi tính định thức $ H $ tại từng điểm.

$$ varphi_ (x) ^ (") = 2x; ; varphi_ (y) ^ (") = 2y; ; F_ (xx) ^ ("") = 2 lambda; ; F_ (xy) ^ ("") = 0; ; F_ (yy) ^ ("") = 2 lambda. \ H = left | begin (array) (ccc) 0 & varphi_ (x) ^ (") và varphi_ (y) ^ (") \ varphi_ (x) ^ (") & F_ (xx) ^ (" ") & F_ (xy) ^ ("") \ varphi_ (y) ^ (") và F_ (xy) ^ (" ") & F_ (yy) ^ (" ") over (array) right | = trái | begin (array) (ccc) 0 và 2x và 2y \ 2x và 2 lambda & 0 \ 2y & 0 và 2 lambda kết thúc (array) right | = 8 cdot left | begin (array) (ccc) 0 và x & y \ x & lambda và 0 \ y và 0 & lambda end (array) right | $$

Tại điểm $ M_1 (1; 3) $ ta nhấn được: $ H = 8 cdot left | begin (array) (ccc) 0 và x & y \ x & lambda và 0 \ y và 0 & lambda over (array) right | = 8 cdot left | begin (array) (ccc) 0 và 1 và 3 \ 1 và -1/2 và 0 \ 3 và 0 & -1/2 over (array) right | = 40> 0 $, vày vậy tại thời điểm $ M_1 (1; 3) $ hàm $ z (x, y) = x + 3y $ có điều kiện tối đa là $ z _ ( max) = z (1; 3) = 10 $.

Tương tự, tại điểm $ M_2 (-1; -3) $ chúng ta tìm thấy: $ H = 8 cdot left | begin (array) (ccc) 0 và x và y \ x và lambda & 0 \ y và 0 & lambda kết thúc (array) right | = 8 cdot left | begin (array) (ccc) 0 và -1 và -3 \ -1 & 50% & 0 \ -3 và 0 & 50% over (array) right | = -40 $. Kể từ lúc $ H 0 $. Bởi vì đó, lốt của $ H $ ngược với lốt của $ lambda $. Bạn có thể hoàn thành những phép tính:

$$ begin (căn chỉnh) & H (M_1) = - 8 cdot left (- frac (1) (2) right) cdot left (3 ^ 2 + 1 ^ 2 right) = 40; và H (M_2) = - 8 cdot frac (1) (2) cdot left ((- 3) ^ 2 + (- 1) ^ 2 right) = - 40. kết thúc (căn chỉnh) $$

Câu hỏi về đặc điểm của cực trị tại những điểm đứng yên $ M_1 (1; 3) $ với $ M_2 (-1; -3) $ hoàn toàn có thể được giải nhưng mà không cần thực hiện định thức $ H $. Tìm dấu của $ d ^ 2F $ tại mỗi điểm đứng yên:

$$ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 = 2 lambda left ( dx ^ 2 + dy ^ 2 right) $$

Tôi để ý rằng ký hiệu $ dx ^ 2 $ tất cả nghĩa là đúng chuẩn $ dx $ được nâng lên lũy thừa thứ hai, có nghĩa là $ left (dx right) ^ 2 $. Bởi đó bọn họ có: $ dx ^ 2 + dy ^ 2> 0 $, do vậy cùng với $ lambda_1 = - frac (1) (2) $, bọn họ nhận được $ d ^ 2FTrả lời: tại điểm $ (- 1; -3) $ hàm tất cả điều kiện bé dại nhất, $ z _ ( min) = - 10 $. Trên điểm $ (1; 3) $ hàm có đk tối đa, $ z _ ( max) = 10 $

Ví dụ số 2

Tìm cực trị có điều kiện của hàm $ z (x, y) = 3y ^ 3 + 4x ^ 2-xy $ với điều kiện $ x + y = 0 $.

Cách trước tiên (phương pháp nhân Lagrange)

Ký hiệu $ varphi (x, y) = x + y $, bọn họ soạn hàm Lagrange: $ F (x, y) = z (x, y) + lambda varphi (x, y) = 3y ^ 3 + 4x ^ 2 -xy + lambda (x + y) $.

$$ frac ( một trong những phần F) ( một trong những phần x) = 8x-y + lambda; U0026quot; frac ( một phần F) ( một trong những phần y) = 9y ^ 2-x + lambda. \ left ( begin (căn chỉnh) và 8x-y + lambda = 0; \ & 9y ^ 2-x + lambda = 0; \ & x + y = 0. over (căn chỉnh) phải. $$

Giải hệ, ta được: $ x_1 = 0 $, $ y_1 = 0 $, $ lambda_1 = 0 $ cùng $ x_2 = frac (10) (9) $, $ y_2 = - frac (10) (9 ) $, $ lambda_2 = -10 $. Bọn họ có nhị điểm đứng yên: $ M_1 (0; 0) $ và $ M_2 left ( frac (10) (9); - frac (10) (9) right) $. Bọn họ hãy tìm bản chất của rất trị tại từng điểm đứng yên bằng cách sử dụng định thức $ H $.

$$ H = left | begin (array) (ccc) 0 & varphi_ (x) ^ (") & varphi_ (y) ^ (") \ varphi_ (x) ^ (") và F_ (xx) ^ (" ") và F_ (xy) ^ ("") \ varphi_ (y) ^ (") & F_ (xy) ^ (" ") & F_ (yy) ^ (" ") over (array) right | = trái | begin (array) (ccc) 0 và 1 & 1 \ 1 và 8 và -1 \ 1 & -1 & 18y end (array) right | = -10-18y $$

Tại điểm $ M_1 (0; 0) $ $ H = -10-18 cdot 0 = -100 $, vì chưng vậy tại thời khắc này, hàm có điều kiện tối đa, $ z _ ( max) = frac (500) (243) $.

Chúng tôi điều tra thực chất của rất trị tại từng điểm bằng một cách thức khác nhau, dựa vào dấu của $ d ^ 2F $:

$$ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 = 8dx ^ 2-2dxdy + 18ydy ^ 2 $$

Từ phương trình ràng buộc $ x + y = 0 $ ta có: $ d (x + y) = 0 $, $ dx + dy = 0 $, $ dy = -dx $.

$$ d ^ 2 F = 8dx ^ 2-2dxdy + 18ydy ^ 2 = 8dx ^ 2-2dx (-dx) + 18y (-dx) ^ 2 = (10 + 18y) dx ^ 2 $$

Vì $ d ^ 2F Bigr | _ (M_1) = 10 dx ^ 2> 0 $ nên $ M_1 (0; 0) $ là vấn đề cực đái có đk của hàm $ z (x, y) = 3y ^ 3 + 4x ^ 2-xy $. Tương tự, $ d ^ 2F Bigr | _ (M_2) = - 10 dx ^ 2 0 $ phải $ M_1 $ là điểm bé dại nhất của hàm $ u (x) $, trong khi $ u _ ( min) = u (0) = 0 $. Bởi $ u_ (xx) ^ ("") (M_2)Trả lời: trên điểm $ (0; 0) $ hàm có điều kiện tối thiểu, $ z _ ( min) = 0 $. Trên điểm $ left ( frac (10) (9); - frac (10) (9) right) $ hàm có đk tối đa, $ z _ ( max) = frac (500) (243 ) $.

Hãy chu đáo thêm một ví dụ, trong đó bọn họ tìm ra bản chất của rất trị bằng phương pháp xác định lốt của $ d ^ 2F $.

Ví dụ # 3

Tìm giá chỉ trị lớn nhất và nhỏ dại nhất của hàm $ z = 5xy-4 $ nếu các biến $ x $ với $ y $ dương và thỏa mãn phương trình buộc ràng $ frac (x ^ 2) (8) + frac ( y ^ 2) (2) -1 = 0 $.

Soạn hàm Lagrange: $ F = 5xy-4 + lambda left ( frac (x ^ 2) (8) + frac (y ^ 2) (2) -1 right) $. Tìm các điểm đứng yên ổn của hàm Lagrange:

$$ F_ (x) ^ (") = 5y + frac ( lambda x) (4); ; F_ (y) ^ (") = 5x + lambda y. \ left ( begin (căn chỉnh) & 5y + frac ( lambda x) (4) = 0; \ & 5x + lambda y = 0; \ và frac (x ^ 2) (8) + frac (y ^ 2) (2) - 1 = 0; \ và x> 0; ; y> 0. end (căn chỉnh) phải. $$

Tất cả các phép thay đổi tiếp theo được thực hiện có tính mang đến $ x> 0; U0026quot; y> 0 $ (điều này được mức sử dụng trong đk của bài xích toán). Từ phương trình vật dụng hai, chúng ta biểu lộ $ lambda = - frac (5x) (y) $ và chũm giá trị tìm được vào phương trình vật dụng nhất: $ 5y- frac (5x) (y) cdot frac (x) ( 4) = 0 $, $ 4y ^ 2-x ^ 2 = 0 $, $ x = 2y $. Vắt $ x = 2y $ vào phương trình thiết bị ba, ta được: $ frac (4y ^ 2) (8) + frac (y ^ 2) (2) -1 = 0 $, $ y ^ 2 = 1 $, $ y = 1 $.

Vì $ y = 1 $ đề xuất $ x = 2 $, $ lambda = -10 $. Tính chất của điểm rất trị tại điểm $ (2; 1) $ được xác minh theo vết của $ d ^ 2F $.

$$ F_ (xx) ^ ("") = frac ( lambda) (4); U0026quot; F_ (xy) ^ ("") = 5; U0026quot; F_ (yy) ^ ("") = lambda. $$

Vì $ frac (x ^ 2) (8) + frac (y ^ 2) (2) -1 = 0 $, nên:

$$ d left ( frac (x ^ 2) (8) + frac (y ^ 2) (2) -1 right) = 0; U0026quot; d left ( frac (x ^ 2) (8) right) + d left ( frac (y ^ 2) (2) right) = 0; U0026quot; frac (x) (4) dx + ydy = 0; U0026quot; dy = - frac (xdx) (4y). $$

Về nguyên tắc, ở đây chúng ta có thể thay ngay lập tức tọa độ của trạm dừng $ x = 2 $, $ y = 1 $ cùng tham số $ lambda = -10 $, do đó thu được:

$$ F_ (xx) ^ ("") = frac (-5) (2); U0026quot; F_ (xy) ^ ("") = - 10; U0026quot; dy = - frac (dx) (2). \ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ (" ") dy ^ 2 = - frac (5) (2) dx ^ 2 + 10dx cdot left (- frac (dx) (2) right) -10 cdot left (- frac (dx) (2) right) ^ 2 = \ = - frac (5) (2) dx ^ 2-5dx ^ 2- frac (5) (2) dx ^ 2 = -10dx ^ 2. $$

Tuy nhiên, trong các bài toán khác so với điểm rất trị tất cả điều kiện, có thể có một số trong những điểm đứng yên. Một trong những trường thích hợp như vậy, xuất sắc hơn là màn biểu diễn $ d ^ 2F $ ngơi nghỉ dạng tổng quát, và tiếp nối thay thế tọa độ của từng điểm đứng yên tìm kiếm được vào biểu thức kết quả:

$$ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 = frac ( lambda) (4) dx ^ 2 + 10 cdot dx cdot frac (-xdx) (4y) + lambda cdot left (- frac (xdx) (4y) right) ^ 2 = \ = frac ( lambda) (4) dx ^ 2- frac (5x) (2y) dx ^ 2 + lambda cdot frac (x ^ 2dx ^ 2) (16y ^ 2) = left ( frac ( lambda ) (4) - frac (5x) (2y) + frac ( lambda cdot x ^ 2) (16y ^ 2) right) cdot dx ^ 2 $$

Thay $ x = 2 $, $ y = 1 $, $ lambda = -10 $, ta được:

$$ d ^ 2 F = left ( frac (-10) (4) - frac (10) (2) - frac (10 cdot 4) (16) right) cdot dx ^ 2 = - 10dx ^ 2. $$

Vì $ d ^ 2F = -10 cdot dx ^ 2Trả lời: trên điểm $ (2; 1) $ hàm có đk tối đa, $ z _ ( max) = 6 $.

Trong phần tiếp theo, họ sẽ coi xét việc áp dụng phương pháp Lagrange cho các hàm có con số biến béo hơn.

Ví dụ

Tìm rất trị của hàm với điều kiện X với tại có liên quan với nhau theo tỷ lệ:. Về khía cạnh hình học, vụ việc có nghĩa như sau: trên một hình elip

*
*
chiếc máy bay
*
*
.

*

Vấn đề này hoàn toàn có thể được xử lý như sau: từ phương trình

*
tìm thấy
*
X:

*
miễn là
*
, rút ​​gọn thành việc tìm cực trị của hàm một biến, bên trên đoạn
*
.

Về khía cạnh hình học, vụ việc có nghĩa như sau: bên trên một hình elip

*
thu được bằng cách vượt qua hình trụ
*
chiếc máy bay
*
, nó được yêu mong để tìm giá chỉ trị tối đa hoặc về tối thiểu của áp dụng
*
(Hình 9). Vấn đề này hoàn toàn có thể được giải quyết và xử lý như sau: từ phương trình
*
tìm thấy
*
. Vậy giá trị tìm kiếm được của y vào phương trình mặt phẳng, ta được một hàm một trở nên X:

Như vậy, vấn đề tìm rất trị của hàm số

*
miễn là
*
, rút ​​gọn thành bài toán tìm cực trị của hàm một biến trên một đoạn.

Cho nên, vụ việc tìm một điểm rất trị tất cả điều kiện là bài toán tìm điểm cực trị của hàm mục tiêu

*
, với điều kiện là những biến X cùng tại chịu sự tinh giảm
*
triệu tập phương trình kết nối.

Chúng tôi sẽ nói rằng lốt chấm

*
, thỏa mãn phương trình ràng buộc, là 1 trong điểm tối đa bao gồm điều kiện tổng thể (tối thiểu) nếu bao gồm một thành phố
*
như vậy cho ngẫu nhiên điểm làm sao
*
, tọa độ của nó thỏa mãn phương trình ràng buộc, thì bất đẳng thức đó.

Nếu từ phương trình giao tiếp hoàn toàn có thể tìm được biểu thức cho tại, sau đó, cầm cố biểu thức này vào hàm ban đầu, shop chúng tôi biến biểu thức sau thành một hàm phức của một phát triển thành X.

Phương pháp chung để giải bài toán cực trị có điều kiện là phương pháp số nhân Lagrange. Hãy chế tạo một công dụng bổ trợ, trong các số ấy

*
─ một số. Chức năng này được call là Hàm Lagrange, một
*
─ hệ số nhân Lagrange. Bởi đó, bài toán tìm điểm rất trị có điều kiện đã được rút gọn thành việc tìm điểm cực trị toàn bộ cho hàm Lagrange. Để tìm các điểm gồm cực trị, nên giải hệ 3 phương trình với 3 ẩn số. X, y và.

*

Sau đó, người ta nên thực hiện điều kiện cực to đủ sau đây.

LÝ THUYẾT.Gọi điểm là vấn đề cực trị rất có thể có của hàm Lagrange. Cửa hàng chúng tôi giả định rằng vào vùng bên cạnh của điểm

*
có các đạo hàm riêng cấp hai liên tiếp của những hàm
*
*
. Bệnh tỏ

Sau kia nếu

*
, tiếp đến
*
─ điểm rất trị có đk của hàm
*
tại phương trình ràng buộc
*
trong khi đó, trường hợp
*
, tiếp đến
*
─ điểm tối thiểu tất cả điều kiện, ví như
*
, tiếp đến
*
─ điểm về tối đa bao gồm điều kiện.

§tám. Gradient và đạo hàm bao gồm hướng

Để công dụng

*
được xác minh trong một số miền (mở). Xem xét bất kỳ điểm làm sao
*
khu vực này và ngẫu nhiên đường thẳng có hướng nào (trục)
*
đi qua điểm đó (Hình 1). Để đến được
*
- một vài điểm không giống của trục này,
*
- độ dài của đoạn thân
*
*
, được thực hiện với một lốt cộng, nếu hướng
*
trùng với hướng của trục
*
và có dấu trừ nếu hướng của chúng ngược nhau.

*

Để mang lại được

*
tiếp cận vô thời hạn
*
. Giới hạn

*

triệu tập đạo hàm hàm

*
đối với
*
(hoặc dọc từ trục
*
) và được cam kết hiệu như sau:

*
.

Đạo hàm này đặc trưng cho "tốc độ cầm cố đổi" của hàm tại điểm

*
đối cùng với
*
. Đặc biệt, và những đạo hàm riêng thông thường
*
,
*
cũng rất có thể được coi là phái sinh "đối với việc chỉ đạo".

Giả sử hiện thời hàm

*
có những đạo hàm riêng thường xuyên trong vùng đã xét. Để trục
*
tạo thành các góc với những trục tọa độ
*
*
. Theo những giả thiết được gửi ra, đạo hàm có hướng
*
tồn tại với được biểu lộ bằng công thức

*
.

Nếu vectơ

*
được thiết lập cấu hình bởi tọa độ của nó
*
, thì đạo hàm của hàm
*
theo hướng của vectơ
*
có thể được xem bằng công thức:

*
.

Vectơ có tọa độ

*
triệu tập vector gradient tác dụng
*
tại điểm
*
. Vectơ gradient cho biết thêm hướng tăng sớm nhất của hàm tại một điểm mang lại trước.

Ví dụ

Cho một hàm, một điểm A (1, 1) với một vectơ

*
. Tìm: 1) grad z trên điểm A; 2) đạo hàm tại điểm A theo hướng của vectơ
*
.

Đạo hàm từng phần của một hàm đã cho tại một điểm

*
:

;

*
.

Khi kia vectơ gradient của hàm tại thời điểm này là:

*
. Vectơ gradient cũng hoàn toàn có thể được viết bằng cách sử dụng không ngừng mở rộng vectơ
*
*
:

*
. Đạo hàm hàm
*
theo hướng của vectơ
*
:

Cho nên,

*
,
*
.◄

Điều kiện đề xuất và đủ nhằm hàm số đạt rất trị hai biến. Một điểm được gọi là vấn đề cực tiểu (cực đại) của hàm số nếu trong một kề bên nào đó của hàm số đó khẳng định và vừa lòng bất đẳng thức (tương ứng, điểm cực lớn và rất tiểu được gọi là vấn đề cực trị của hàm số).

Một điều kiện quan trọng cho một điểm rất trị. Giả dụ tại điểm rất trị, hàm có các đạo hàm riêng rẽ đầu tiên, thì chúng mất tích tại điểm này. Sau đó, để tìm các điểm rất trị của một hàm số đó, người ta đề nghị giải hệ phương trình. Những điểm gồm tọa độ thỏa mãn hệ thức này được điện thoại tư vấn là các điểm tới hạn của hàm số. Trong số đó hoàn toàn có thể có điểm về tối đa, điểm buổi tối thiểu, cũng tương tự các điểm ko phải là điểm cực trị.

Các đk cực hạn đủ được sử dụng để chọn điểm rất trị từ bỏ tập hợp các điểm tới hạn cùng được liệt kê dưới đây.

Để hàm số có đạo hàm riêng cấp hai tiếp tục tại điểm cho tới hạn. Ví như tại thời khắc này,

điều kiện, thì nó là 1 trong những điểm cực tiểu tại với một điểm cực to tại. Ví như tại một điểm tới hạn, thì nó ko phải là một trong những điểm cực trị. Vào trường thích hợp này, cần được có một nghiên cứu và phân tích tinh tế rộng về thực chất của điểm tới hạn, vào trường hòa hợp này rất có thể có hoặc ko phải là điểm cực trị.

Cực trị của hàm tía biến. vào trường vừa lòng một hàm cha biến, những định nghĩa về điểm cực trị lặp lại nguyên văn những định nghĩa tương ứng cho một hàm nhị biến. Công ty chúng tôi giới hạn bản thân để trình bày quy trình phân tích một hàm cho 1 điểm cực trị. Giải hệ phương trình, bạn ta đề nghị tìm những điểm cho tới hạn của hàm, sau đó tại mỗi điểm cho tới hạn đo lường các đại lượng

Nếu cả cha đại lượng đa số dương thì điểm tới hạn vẫn xét là điểm cực tiểu; trường hợp thì điểm cho tới hạn đã cho là điểm tối đa.

Cực trị có đk của một hàm nhì biến.Điểm được gọi là điểm cực tiểu (cực đại) có điều kiện của hàm, với đk là gồm một bên cạnh của điểm mà lại tại kia hàm được xác minh và trong đó (tương ứng) với tất cả các điểm gồm tọa độ vừa lòng phương trình

Để tìm những điểm rất trị bao gồm điều kiện, hãy sử dụng hàm Lagrange

trong kia số được call là số nhân Lagrange. Giải hệ tía phương trình

*

tìm những điểm tới hạn của hàm Lagrange (cũng như cực hiếm của hệ số phụ A). Tại mọi điểm tới hạn này, hoàn toàn có thể có một rất trị gồm điều kiện. Hệ thức trên chỉ đưa ra những điều kiện quan trọng cho một điểm rất trị, nhưng không đủ: nó rất có thể được thỏa mãn bởi tọa độ của những điểm ko phải là vấn đề của một điểm cực trị gồm điều kiện. Mặc dù nhiên, tiến hành từ thực chất của vấn đề, thường hoàn toàn có thể xác lập thực chất của điểm tới hạn.

Xem thêm: Giải Bài Tập Trang 68 Sgk Toán 12 Cơ Bản, Sách Giáo Khoa Giải Tích 12 Cơ Bản

Cực trị có điều kiện của một hàm những biến. Hãy xem xét một hàm của các biến với đk rằng chúng có liên quan với nhau bằng những phương trình