Bất đẳng thức Cô-si: Lý thuyết cần ghi nhớ và các dạng bài tập thường gặp

Bất đẳng thức Cô-si hay bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm. Bài viết hôm nay, THPT Sóc Trăng sẽ giới thiệu về một số kiến thức cần nhớ về bất đẳng thức Cauchy (Cô si) và một số dạng bài tập thường gặp. Bạn tìm hiểu nhé !

I. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI


1. Bất đẳng thức Cô-si là gì ?

Bạn đang xem: Bất đẳng thức Cô-si: Lý thuyết cần ghi nhớ và các dạng bài tập thường gặp

Tên đúng của bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM-GM. Có nhiều cách để chứng minh bđt này nhưng hay nhất là cách chứng minh quy nạp của Cauchy.

Bạn đang xem: Định lý cauchy


Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau:

Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

*
*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

– Bất đẳng thức Cô si với n số thực không âm:

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 

*

2. Các dạng phát biểu của bất đẳng thức Cô-si

a. Dạng tổng quát của bất đẳng thức Cô-si

Cho 

*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
x_1 - x_2 & ne 0 \<3pt> left( x_1 - x_2 right) ^2 & > 0 \<3pt> x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2 & > 0 \<3pt> x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2 & > 4 x_1 x_2 \<3pt> left( x_1 + x_2 right) ^2& > 4 x_1 x_2 \<3pt> Bigl( frac{x_1 + x_2}{2} Bigr)^2 & > x_1 x_2 \<3pt> frac{x_1 + x_2}{2} & > sqrt{x_1 x_2} end{align} " />

điều phải chứng minh.

d. Trường hợp n = 2k

Xem xét các trường hợp n= 2 k, với k là một số nguyên dương. Chúng tôi tiến hành bằng quy nạp toán học.

Trong trường hợp cơ bản,k = 1, tức n = 2, bất đẳng thức đã được chứng minh ở trên.

Khi, có một giá trị k> 1 bất kỳ, giả sử rằng bất đẳng thức đúng với n = 2k−1, và cần chứng minh rằng nó vẫn đúng khi n = 2k. Để làm như vậy, các bước được thực hiện như sau:

*
*
*
*
sqrt<2^k>{x_1 x_2 cdots x_{2^k}}" />

(điều phải chứng minh).

e. Trường hợp n k

Nếu n không phải là một hàm mũ tự nhiên cơ số 2, thì nó chắc chắn là nhỏ hơn một số nào đó theo hàm mũ tự nhiên cơ số 2, vì chuỗi 2, 4, 8,…, 2k,… không bị chặn trên. Do đó, mà không mất tính tổng quát, với m giá trị tuân theo hàm mũ tự nhiên cơ số 2 lớn hơn n.

Xem thêm: Bố Cục Của Bản Tuyên Ngôn Độc Lập, Tuyên Ngôn Độc Lập

Vì vậy, nếu ta có n số, thì ta có thể biểu diễn giá trị trung bình cộng α, và được mở rộng như sau:

*
*
& = frac{frac{m}{n} left( x_1 + x_2 + cdots + x_n right)}{m} \<6pt> & = frac{x_1 + x_2 + cdots + x_n + frac{m-n}{n} left( x_1 + x_2 + cdots + x_n right)}{m} \<6pt> & = frac{x_1 + x_2 + cdots + x_n + left( m-n right) alpha}{m} \<6pt> & = frac{x_1 + x_2 + cdots + x_n + x_{n+1} + cdots + x_m}{m} \<6pt> & > sqrt{x_1 x_2 cdots x_n x_{n+1} cdots x_m} \<6pt> & = sqrt{x_1 x_2 cdots x_n alpha^{m-n}},, end{align} " />

như vậy

x_1 x_2 cdots x_n alpha^{m-n} \<5pt> alpha^n & > x_1 x_2 cdots x_n \<5pt> alpha & > sqrt{x_1 x_2 cdots x_n} end{align} " />

điều phải chứng minh.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI

a. Bài tập có lời giải:

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

*
 với x > 0

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0 và ta có:

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 

*
(do x > 0)

Vậy min

*

Bài 2: Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn điều kiện 

*
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
*

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0, y > 0 ta có:

*

*

Lại có, áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0, y > 0 ta có:

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 

*

Vậy minA = 4 khi và chỉ khi x = y = 4

Bài 3: Chứng minh với ba số a, b, c không âm thỏa mãn a + b + c = 3 thì:

*

Nhận xét: Bài toán đạt được dấu bằng khi và chi khi a = b = c = 1. Ta sẽ sử dụng phương pháp làm trội làm giảm như sau:

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số a, b, c không âm có:

*

Tương tự ta có 

*
 và 
*

Cộng vế với vế ta có:

*

*

*

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a, 

*
với x > 0

(gợi ý: biến đổi 

*
 rồi áp dụng bất đẳng thức Cô si)

b, 

*
 với x > 0

c, 

*
với x > 2

(gợi ý: biến đổi rồi áp dụng bất đẳng thức Cô si)

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

*
 với x > y > 0

(gợi ý: biến đổi 

*
)

Bài 3: Với a, b, c là các số thực không âm, chứng minh:

*

(gợi ý áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số a, b, c không âm)

Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

*

(gợi ý sử dụng phương pháp làm trội)