Bạn đang xem: Giải phương trình tổ hợp chỉnh hợp
PHƯƠNG PHÁP
1. Kiến thức cần nhớ
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Giải phương trình, hệ phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợpPhương pháp chung:Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi phương trình.Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.Dạng 2: Giải bất phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợpPhương pháp chung:Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi bất phương trình.Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.VÍ DỤ VẬN DỤNG
Câu 1.Tìm tất cả các giá trị $x \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $6\left( {{P_x} - {P_{x - 1}}} \right) = {P_{x + 1}}.$A. x = 2.B. x = 3.C. x = 2; x = 3.D. x = 5.Điều kiện: $x \ge 1$ và $x \in \mathbb{N}.$Ta có $6\left( {{P_x} - {P_{x - 1}}} \right) = {P_{x + 1}} \Leftrightarrow 6\left< {x! - \left( {x - 1} \right)!} \right> = \left( {x + 1} \right)! \Leftrightarrow 6\left( {x - 1} \right)!.\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)!.x\left( {x + 1} \right)$$ \Leftrightarrow 6.\left( {x - 1} \right) = x\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}x = 2{\rm{ }}\left( {nhan} \right)\\x = 3{\rm{ }}\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn C.
Câu 2.Tính tổng S của tất cả các giá trị của x thỏa mãn ${P_2}.{x^2}--{P_3}.x = 8.$A. S = - 4.B. S = - 1.C. S = 4.D. S = 3.
Ta có ${P_2}.{x^2}--{P_3}.x = 8 \Leftrightarrow 2!.{x^2} - 3!.x = 8 \Leftrightarrow 2{x^2} - 6x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}x = - 1\\x = 4\end{array} \right.$-> S = - 1 + 4 = 3Chọn D.
Điều kiện: $x \ge 2$ và $x \in \mathbb{N}$.Ta có $3A_x^2 - A_{2x}^2 + 42 = 0 \Leftrightarrow 3.\frac{{x!}}{{\left( {x - 2} \right)!}} - \frac{{\left( {2x} \right)!}}{{\left( {2x - 2} \right)!}} + 42 = 0$$ \Leftrightarrow 3.\left( {x - 1} \right).x - \left( {2x - 1} \right).2x + 42 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + x - 42 = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}x = - 7\left( {loai} \right)\\x = 6\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn B.
Câu 4.Cho số tự nhiên x thỏa mãn $A_x^{10} + A_x^9 = 9A_x^8$. Mệnh đề nào sau đây đúng?A. x là số chính phương.B. x là số nguyên tố.C. x là số chẵn.D. x là số chia hết cho 3
Điều kiện: $x \ge 10$ và $x \in \mathbb{N}$.Ta có $A_x^{10} + A_x^9 = 9A_x^8 \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{\left( {x - 10} \right)!}} + \frac{{x!}}{{\left( {x - 9} \right)!}} = 9\frac{{x!}}{{\left( {x - 8} \right)!}}$$ \Leftrightarrow \frac{1}{1} + \frac{1}{{x - 9}} = \frac{9}{{\left( {x - 9} \right)\left( {x - 8} \right)}} \Leftrightarrow {x^2} - 16x + 55 = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}x = 11\left( {nhan} \right)\\x = 5\left( {loai} \right)\end{array} \right..$ Chọn B.
Câu 5.Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ thỏa mãn $A_n^3 + 5A_n^2 = 2\left( {n + 15} \right)$?A. 0.B. 1C. 2D. 3
Điều kiện: $n \ge 3$ và $n \in \mathbb{N}.$Ta có $A_n^3 + 5A_n^2 = 2\left( {n + 15} \right) \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} + 5.\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - 2n - 30 = 0$$ \Leftrightarrow \left( {n - 2} \right).\left( {n - 1} \right).n + 5.\left( {n - 1} \right).n - 2n - 30 = 0 \Leftrightarrow {n^3} + 2{n^2} - 5n - 30 = 0 \Leftrightarrow n = 3.$ Chọn B.
Câu 6.Tìm giá trị $n \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $C_{n + 1}^1 + 3C_{n + 2}^2 = C_{n + 1}^3.$A. n = 12.B. n = 9.C. n = 16.D. n = 2.
Điều kiện: $n \ge 2$ và $n \in \mathbb{N}.$Ta có $C_{n + 1}^1 + 3C_{n + 2}^2 = C_{n + 1}^3 \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{1!.n!}} + 3.\frac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{2!.n!}} = \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{3!.\left( {n - 2} \right)!}}$$ \Leftrightarrow n + 1 + 3.\frac{{\left( {n + 1} \right).\left( {n + 2} \right)}}{2} = \frac{{\left( {n - 1} \right).n.\left( {n + 1} \right)}}{6} \Leftrightarrow 1 + 3.\frac{{\left( {n + 2} \right)}}{2} = \frac{{\left( {n - 1} \right).n.}}{6}$$ \Leftrightarrow 6 + 9n + 18 = {n^2} - n \Leftrightarrow {n^2} - 10n - 24 = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}n = - 2\left( {loai} \right)\\n = 12\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn A.
Câu 7.Tính tích P của tất cả các giá trị của x thỏa mãn $C_{14}^x + C_{14}^{x + 2} = 2C_{14}^{x + 1}.$A. P = 4.B. P = 32.C. P = - 32.D. P = 12.
Điều kiện: $0 \le x \le 12$ và $x \in \mathbb{N}$.Ta có $C_{14}^x + C_{14}^{x + 2} = 2C_{14}^{x + 1} \Leftrightarrow \frac{{14!}}{{x!\left( {14 - x} \right)!}} + \frac{{14!}}{{\left( {x + 2} \right)!\left( {12 - x} \right)!}} = 2\frac{{14!}}{{\left( {x + 1} \right)!\left( {13 - x} \right)!}}$$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{{\left( {14 - x} \right)\left( {13 - x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = 2.\frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {13 - x} \right)}}\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) + \left( {14 - x} \right)\left( {13 - x} \right) = 2\left( {x + 2} \right)\left( {14 - x} \right)\end{array}$$ \Leftrightarrow {x^2} - 12x + 32 = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l} x = 4\\ x = 8 \end{array} \right. \to P = 4.8 = 32.$Chọn B.
Câu 8.Tính tổng S của tất cả các giá trị của $n$ thỏa mãn $\frac{1}{{C_n^1}} - \frac{1}{{C_{n + 1}^2}} = \frac{7}{{6C_{n + 4}^1}}.$A. S = 8.B. S = 11.C. S = 12.D. S = 15.
Điều kiện: $n \ge 1$ và $n \in \mathbb{N}$.Ta có $\frac{1}{{C_n^1}} - \frac{1}{{C_{n + 1}^2}} = \frac{7}{{6C_{n + 4}^1}} \Leftrightarrow \frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{n!}} - \frac{{2!.\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {n + 1} \right)!}} = \frac{{7\left( {n + 3} \right)!}}{{6\left( {n + 4} \right)!}} \Leftrightarrow \frac{1}{n} - \frac{2}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{7}{{6\left( {n + 4} \right)}}$$ \Leftrightarrow {n^2} - 11n + 24 = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}n = 3\left( {nhan} \right)\\n = 8\left( {nhan} \right)\end{array} \right. \to S = 3 + 8 = 11.$ Chọn B.
Câu 9.Tìm giá trị $x \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $C_x^0 + C_x^{x - 1} + C_x^{x - 2} = 79.$A. x = 13.B. x = 17.C. x = 16.D. x = 12.
Điều kiện: $x \in \mathbb{N}$.Ta có $C_x^0 + C_x^{x - 1} + C_x^{x - 2} = 79 \Leftrightarrow C_x^0 + C_x^1 + C_x^2 = 79$$ \Leftrightarrow 1 + x + \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{2} = 79 \Leftrightarrow {x^2} + x - 156 = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}x = 12\left( {nhan} \right)\\x = - 13\left( {loai} \right)\end{array} \right..$ Chọn D.
Câu 10.Tìm giá trị $n \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n = 7\left( {n + 3} \right).$A. n = 15.B. n = 18.C. n = 16.D. n = 12.
Điều kiện: $n \in \mathbb{N}$.Ta có $C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n = 7\left( {n + 3} \right) \Leftrightarrow C_{n + 4}^3 - C_{n + 3}^3 = 7\left( {n + 3} \right)$$ \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 4} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{3!}} - \frac{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}{{3!}} = 7 \Leftrightarrow 3n - 36 = 0 \Leftrightarrow n = 12\left( {nhan} \right).$ Chọn D.
Câu 11.Tìm giá trị $n \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 = \frac{{7n}}{2}.$A. n = 3.B. n = 4.C. n = 6.D. n = 8.
Ta có $C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 = \frac{{7n}}{2} \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} + \frac{{n!}}{{2!.\left( {n - 2} \right)!}} + \frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} = \frac{{7n}}{2}$$ \Leftrightarrow {n^2} - 16 = 0 \to n = 4.$ Chọn B.
Câu 12.Tính tổng S của tất cả các giá trị của x thỏa $C_x^1 + 6C_x^2 + 6C_x^3 = 9{x^2} - 14x.$A. S = 2.B. S = 7.C. S = 9.D. S = 14.
Điều kiện: $x \ge 3$ và $x \in \mathbb{N}.$Ta có $C_x^1 + 6C_x^2 + 6C_x^3 = 9{x^2} - 14x \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{1!.\left( {x - 1} \right)!}} + 6.\frac{{x!}}{{2!.\left( {x - 2} \right)!}} + 6.\frac{{x!}}{{3!.\left( {x - 3} \right)!}} = 9{x^2} - 14x$$ \Leftrightarrow x + 3x\left( {x - 1} \right) + \left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)x = 9{x^2} - 14x \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}x = 0\left( {loai} \right)\\x = 2\left( {loai} \right)\\x = 7\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn B.
Câu 13.Tìm giá trị $n \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $C_n^6 + 3C_n^7 + 3C_n^8 + C_n^9 = 2C_{n + 2}^8.$A. n = 18.B. n = 16.C. n = 15.D. n = 14.
Điều kiện: $n \ge 9$ và $n \in \mathbb{N}.$Áp dụng công thức $C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}$, ta có $C_n^6 + 3C_n^7 + 3C_n^8 + C_n^9 = 2C_{n + 2}^8$$ \Leftrightarrow C_n^6 + C_n^7 + 2\left( {C_n^7 + C_n^8} \right) + C_n^8 + C_n^9 = 2C_{n + 2}^8 \Leftrightarrow C_{n + 1}^7 + 2C_{n + 1}^8 + C_{n + 1}^9 = 2C_{n + 2}^8$$ \Leftrightarrow \left( {C_{n + 1}^7 + C_{n + 1}^8} \right) + \left( {C_{n + 1}^8 + C_{n + 1}^9} \right) = 2C_{n + 2}^8 \Leftrightarrow C_{n + 2}^8 + C_{n + 2}^9 = 2C_{n + 2}^8$$ \Leftrightarrow C_{n + 2}^9 = C_{n + 2}^8 \to n + 2 = 9 + 8 \Leftrightarrow n = 15.$ Chọn C.
Câu 14.Đẳng thức nào sau đây là sai?A. $C_{2007}^7 = C_{2006}^7 + C_{2006}^6.$B. $C_{2007}^7 = C_{2006}^{2000} + C_{2006}^6.$C. $C_{2007}^7 = C_{2006}^{2000} + C_{2006}^{1999}.$D. $C_{2007}^7 = C_{2006}^7 + C_{2006}^{2000}.$
Áp dụng công thức $C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}$, ta có $C_{2006}^6 + C_{2006}^7 = C_{2007}^7$. Do đó A đúng.Áp dụng công thức $C_n^k = C_n^{n - k} \to \left\{ \begin{array}{l} C_{2006}^6 = C_{2006}^{2000}\\ C_{2006}^7 = C_{2006}^{1999} \end{array} \right..$Suy ra $C_{2007}^7 = C_{2006}^6 + C_{2006}^7 = C_{2006}^{2000} + C_{2006}^{1999} = C_{2006}^{2000} + C_{2006}^7$. Do đó C, D đúng; B sai.Chọn B.
Câu 15.Đẳng thức nào sau đây là đúng?A. $1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = C_{n + 1}^2.$B. $1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = A_{n + 1}^2.$C. $1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = C_n^1 + C_n^2 + .... + C_n^n.$D. $1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = A_n^1 + A_n^2 + .... + A_n^n.$
Ta có $1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}$ và $C_{n + 1}^2 = \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{2!\left( {n + 1 - 2} \right)!}} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}.$Do đó A đúng. Chọn A.
Câu 16.Tính tích P của tất cả các giá trị của $n$ thỏa mãn ${P_n}A_n^2 + 72 = 6\left( {A_n^2 + 2{P_n}} \right).$A. P = 12.B. P = 5.C. P = 10.D. P = 6.
Điều kiện: $n \ge 2$ và $n \in \mathbb{N}.$Ta có ${P_n}A_n^2 + 72 = 6\left( {A_n^2 + 2{P_n}} \right) \Leftrightarrow n!.\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} + 72 = 6\left< {\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} + 2.n!} \right>$$ \Leftrightarrow n!.\left( {n - 1} \right).n + 72 = 6\left< {\left( {n - 1} \right)n + 2.n!} \right> \Leftrightarrow \left( {n! - 6} \right)\left( {{n^2} - n - 12} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l} {n^2} - n - 12 = 0\\ n! - 6 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l} n = 4\left( {nhan} \right)\\ n = - 3\left( {loai} \right)\\ n = 3\left( {nhan} \right) \end{array} \right. \to P = 4.3 = 12.$Chọn A.
Câu 17.Tính tích P của tất cả các giá trị của x thỏa mãn $7\left( {A_{x + 1}^{x - 1} + 2{P_{x - 1}}} \right) = 30{P_x}.$A. P = 7.B. P = 4.C. P = 28.D. P = 14.
Điều kiện: $x \ge 1$ và $x \in \mathbb{N}$.Ta có $7\left( {A_{x + 1}^{x - 1} + 2{P_{x - 1}}} \right) = 30{P_x} \Leftrightarrow 7\left< {\frac{{\left( {x + 1} \right)!}}{{2!}} + 2\left( {x - 1} \right)!} \right> = 30x!$$ \Leftrightarrow 7\left< {\frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{2} + 2} \right> = 30x \Leftrightarrow 7{x^2} - 53x + 28 = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}x = 7\left( {nhan} \right)\\x = \frac{4}{7}\left( {loai} \right)\end{array} \right. \to P = 7.$ Chọn A.
Câu 18.Tìm giá trị $n \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $C_{n + 8}^{n + 3} = 5A_{n + 6}^3.$A. n = 15.B. n = 17.C. n = 6.D. n = 14.
Áp dụng công thức $C_n^k = C_n^{n - k}$, ta có $C_{n + 8}^{n + 3} = 5A_{n + 6}^3 \Leftrightarrow C_{n + 8}^5 = 5.A_{n + 6}^3$$ \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 8} \right)\left( {n + 7} \right)}}{{5!}} = 5 \Leftrightarrow {n^2} + 15n - 544 = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}n = 17\left( {nhan} \right)\\n = - 32\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn B.
Câu 19.Tìm giá trị $x \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $A_x^2.C_x^{x - 1} = 48.$A. x = 4.B. x = 3.C. x = 7.D. x = 12.
Điều kiện: $x \ge 2$ và $x \in \mathbb{N}$.Ta có $A_x^2.C_x^{x - 1} = 48 \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{\left( {x - 2} \right)!}}.\frac{{x!}}{{\left( {x - 1} \right)!.1!}} = 48$$ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)x.x = 48 \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - 48 = 0 \Leftrightarrow x = 4\left( {tho\^u a ma\~o n} \right).$ Chọn A.
Câu 20.Tìm giá trị $n \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $A_n^2 - C_{n + 1}^{n - 1} = 5.$A. n = 3.B. n = 5.C. n = 4.D. n = 6.
Điều kiện: $n \ge 2$ và $n \in \mathbb{N}.$Ta có $A_n^2 - C_{n + 1}^{n - 1} = 5 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!2!}} = 5 \Leftrightarrow \left( {n - 1} \right).n - \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} - 5 = 0$$ \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 10 = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}n = - 2\;\left( {loai} \right)\\n = 5\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn B.
Câu 21.Tính tích P của tất cả các giá trị của $n$ thỏa mãn $A_n^2 - 3C_n^2 = 15 - 5n.$A. P = 5.B. P = 6.C. P = 30.D. P = 360.
Điều kiện: $n \ge 2$ và $n \in \mathbb{N}.$Ta có $A_n^2 - 3C_n^2 = 15 - 5n \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - 3.\frac{{n!}}{{2!.\left( {n - 2} \right)!}} = 15 - 5n$$ \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) - 3\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 15 - 5n \Leftrightarrow - {n^2} + 11n - 30 = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}n = 6\left( {nhan} \right)\\n = 5\left( {nhan} \right)\end{array} \right.$-> P = 5.6 = 30Chọn C.
Câu 22.Tìm giá trị $x \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $3A_x^4 = 24\left( {A_{x + 1}^3 - C_x^{x - 4}} \right).$A. x = 3.B. x = 1.C. x = 5.D. $x = 1;{\rm{ }}x = 5.$
Điều kiện: $x \ge 4$ và $x \in \mathbb{N}$.Ta có $3A_x^4 = 24\left( {A_{x + 1}^3 - C_x^{x - 4}} \right) \Leftrightarrow 23.\frac{{x!}}{{\left( {x - 4} \right)!}} = 24.\left< {\frac{{\left( {x + 1} \right)!}}{{\left( {x - 2} \right)!}} - \frac{{x!}}{{\left( {x - 4} \right)!.4!}}} \right>$$ \Leftrightarrow 23.\frac{1}{{\left( {x - 4} \right)!}} = 24.\left< {\frac{{x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)!}} - \frac{1}{{\left( {x - 4} \right)!.4!}}} \right> \Leftrightarrow 23.\frac{1}{1} = 24.\left< {\frac{{x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} - \frac{1}{{1.24}}} \right>$$ \Leftrightarrow 23 = 24.\frac{{x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} - 1 \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = 1 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}x = 1\left( {loai} \right)\\x = 5\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn C.
Câu 23.Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ thỏa mãn $\frac{{A_{n + 4}^4}}{{\left( {n + 2} \right)!}} B. 2C. 3D. Vô số.
Điều kiện: $n \in \mathbb{N}$.Ta có $\frac{{A_{n + 4}^4}}{{\left( {n + 2} \right)!}} $ \Leftrightarrow \left( {n + 3} \right)\left( {n + 4} \right) Câu 24.Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ thỏa mãn $2C_{n + 1}^2 + 3A_n^2 - 20 B. 2C. 3D. Vô số.
Điều kiện: $n \ge 2$ và $n \in \mathbb{N}$.Ta có $2C_{n + 1}^2 + 3A_n^2 - 20 $ \Leftrightarrow n\left( {n + 1} \right) + 3\left( {n - 1} \right)n - 20 Câu 25.Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ thỏa mãn $2C_{n + 1}^2 + {\rm{ }}3A_n^2 B. 2C. 3D. Vô số.
Điều kiện: $n \ge 2$ và $n \in \mathbb{N}$.Ta có $2C_{n + 1}^2 + {\rm{ }}3A_n^2 $ \Leftrightarrow n\left( {n + 1} \right) + 3\left( {n - 1} \right)x Câu 26.Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ thỏa mãn $14.{P_3}C_{n - 1}^{n - 3} B. 2C. 3D. Vô số.
Điều kiện: $n \ge 3$ và $n \in \mathbb{N}$.Ta có $14.{P_3}C_{n - 1}^{n - 3} $\begin{array}{l} \Leftrightarrow 42\left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right) 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}n 6\end{array} \right.\end{array}$$ \to \left\{ \begin{array}{l}n \ge 7\\n \in \mathbb{N}\end{array} \right..$ Chọn D.
Câu 27.Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}C_x^y - C_x^{y + 1} = 0\\4C_x^y - 5C_x^{y - 1} = 0\end{array} \right..$A. $\left\{ \begin{array}{l}x = 17\\y = 8\end{array} \right..$B. $\left\{ \begin{array}{l}x = 17\\y = - 8\end{array} \right..$C. $\left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = 8\end{array} \right..$D. $\left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 9\end{array} \right..$
Điều kiện: $x \ge y + 1$ và $x,y \in \mathbb{N}$.Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{C_x^y - C_x^{y + 1} = 0}&{\left( 1 \right)}\\{4C_x^y - 5C_x^{y - 1} = 0}&{\left( 2 \right)}\end{array}} \right.$.Phương trình $\left( 1 \right) \Leftrightarrow C_x^y = C_x^{y + 1} \Leftrightarrow y + y + 1 = x \Leftrightarrow x - 2y - 1 = 0$.Phương trình $\left( 2 \right) \Leftrightarrow 4C_x^y = 5C_x^{y - 1} \Leftrightarrow 4.\frac{{x!}}{{y!.\left( {x - y} \right)!}} = 5.\frac{{x!}}{{\left( {y - 1} \right)!.\left( {x - y + 1} \right)!}}$$ \Leftrightarrow \frac{4}{y} = \frac{5}{{x - y + 1}} \Leftrightarrow 4x - 9y + 4 = 0.$Do đó hệ phương trình đã cho $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2y - 1 = 0\\4x - 9y + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 17\\y = 8\end{array} \right.\left( {tho\^u a ma\~o n} \right).$ Chọn A.
Câu 28.Tìm cặp số $\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn $\frac{{C_{x + 1}^y}}{6} = \frac{{C_x^{y + 1}}}{5} = \frac{{C_x^{y - 1}}}{2}.$A. $\left( {x;y} \right) = \left( {8;3} \right).$B. $\left( {x;y} \right) = \left( {3;8} \right).$C. $\left( {x;y} \right) = \left( { - 1;0} \right).$D. $\left( {x;y} \right) = \left( { - 1;0} \right),{\rm{ }}\left( {x;y} \right) = \left( {8;3} \right).$
Điều kiện: $x \ge y + 1$ và $x,y \in \mathbb{N}$.$\frac{{C_{x + 1}^y}}{6} = \frac{{C_x^{y + 1}}}{5} \Leftrightarrow 5.C_{x + 1}^y = 6.C_x^{y + 1} \Leftrightarrow \frac{{5\left( {x + 1} \right)!}}{{y!\left( {x + 1 - y} \right)!}} = \frac{{6x!}}{{\left( {y + 1} \right)!\left( {x - y - 1} \right)!}}$$ \Leftrightarrow \frac{{5\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - y + 1} \right)}} = \frac{6}{{\left( {y + 1} \right)}} \Leftrightarrow 5\left( {y + 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 6\left( {x - y} \right)\left( {x - y + 1} \right)$. $\left( 1 \right)$$\frac{{C_x^{y + 1}}}{5} = \frac{{C_x^{y - 1}}}{2} \Leftrightarrow 2.C_x^{y + 1} = 5.C_x^{y - 1} \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{5.\left( {y + 1} \right)!.\left( {x - y - 1} \right)!}} = \frac{{x!}}{{2.\left( {y - 1} \right)!.\left( {x - y + 1} \right)!}}$$ \Leftrightarrow \frac{1}{{5.y\left( {y + 1} \right)}} = \frac{1}{{2.\left( {x - y} \right)\left( {x - y + 1} \right)}}$ $ \Leftrightarrow 5.y\left( {y + 1} \right) = 2.\left( {x - y} \right)\left( {x - y + 1} \right) \Leftrightarrow 15.y\left( {y + 1} \right) = 6.\left( {x - y} \right)\left( {x - y + 1} \right)$. $\left( 2 \right)$Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra $ \Leftrightarrow 5\left( {y + 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 15.y\left( {y + 1} \right) \Leftrightarrow x + 1 = 3y$. Thay vào $\left( 1 \right)$, ta được$ \Leftrightarrow 15\left( {y + 1} \right)y = 6\left( {2y - 1} \right)2y \Leftrightarrow 3{y^2} - 9y = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}y = 0 \to x = - 1\left( {loai} \right)\\y = 3 \to x = 8\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn A.
Câu 29.Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}C_y^x:C_{y + 2}^x = \frac{1}{3}\\C_y^x:A_y^x = \frac{1}{{24}}\end{array} \right..$A. $\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 1\end{array} \right..$B. $\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 8\end{array} \right..$C. $\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 1\end{array} \right.,{\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 8\end{array} \right..$D. $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 8\end{array} \right..$
Điều kiện: $y \ge x$ và $x,y \in \mathbb{N}$.Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{C_y^x:C_{y + 2}^x = \frac{1}{3}}&{\left( 1 \right)}\\{C_y^x:A_y^x = \frac{1}{{24}}}&{\left( 2 \right)}\end{array}} \right..$Phương trình $\left( 2 \right) \Leftrightarrow \frac{{C_y^x}}{{A_y^x}} = \frac{1}{{24}} \Leftrightarrow 24C_y^x = A_y^x \Leftrightarrow 24.\frac{{y!}}{{x!\left( {y - x} \right)!}} = \frac{{y!}}{{\left( {y - x} \right)!}} \Leftrightarrow \frac{{24}}{{x!}} = 1 \Leftrightarrow x = 4$.Thay $x = 4$ vào $\left( 1 \right)$, ta được $\frac{{C_y^4}}{{C_{y + 2}^4}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow 3C_y^4 = C_{y + 2}^4 \Leftrightarrow 3.\frac{{y!}}{{4!.\left( {y - 4} \right)!}} = \frac{{\left( {y + 2} \right)!}}{{4!.\left( {y - 2} \right)!}}$$ \Leftrightarrow \frac{3}{1} = \frac{{\left( {y + 1} \right)\left( {y + 2} \right)}}{{\left( {y - 3} \right)\left( {y - 2} \right)}} \Leftrightarrow {y^2} - 9y + 8 = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}y = 1 4 = x\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn B.
Xem thêm: Đáp Án Đề Thi Đại Học Môn Toán 2011 Khối D Năm 2011, Đề Thi Đại Học Môn Toán Khối D Năm 2011 ❣️✔️✔️✔️
Câu 30.Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2A_x^y + 5C_x^y = 90\\5A_x^y - 2C_x^y = 80\end{array} \right.$.A. $\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 2\end{array} \right..$B. $\left\{ \begin{array}{l}x = 20\\y = 10\end{array} \right..$C. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 5\end{array} \right..$D. $\left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 3\end{array} \right..$
Điều kiện: $x \ge y$ và $x,y \in \mathbb{N}$.Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = A_x^y\\v = C_x^y\end{array} \right.$, ta được $\left\{ \begin{array}{l}2u + 5v = 90\\5u - 2v = 80\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 20\\v = 10\end{array} \right.$.Ta có $A_n^k = k!C_n^k \to u = y!.v \Leftrightarrow 20 = y!.10 \Leftrightarrow y! = 2 \Leftrightarrow y = 2.$Với $u = 20$, suy ra $A_x^y = 20 \Leftrightarrow A_x^2 = 20 \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{\left( {x - 2} \right)!}} = 20 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)x = 20 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}x = 5\\x = - 4\left( {loai} \right)\end{array} \right..$Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 2\end{array} \right..$ Chọn A.