Giải phương trình tổ hợp, hoán vị và chỉnh hợp là phần nâng cao thuộc chương trình lớp 11.

Bạn đang xem: Giải phương trình tổ hợp chỉnh hợp

PHƯƠNG PHÁP

1. Kiến thức cần nhớ


*

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1:
Giải phương trình, hệ phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợpPhương pháp chung:Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi phương trình.Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.Dạng 2: Giải bất phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợpPhương pháp chung:Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi bất phương trình.Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.

VÍ DỤ VẬN DỤNG

Câu
1.Tìm tất cả các giá trị $x \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $6\left( {{P_x} - {P_{x - 1}}} \right) = {P_{x + 1}}.$A. x = 2.B. x = 3.C. x = 2; x = 3.D. x = 5.
Điều kiện: $x \ge 1$ và $x \in \mathbb{N}.$Ta có $6\left( {{P_x} - {P_{x - 1}}} \right) = {P_{x + 1}} \Leftrightarrow 6\left< {x! - \left( {x - 1} \right)!} \right> = \left( {x + 1} \right)! \Leftrightarrow 6\left( {x - 1} \right)!.\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)!.x\left( {x + 1} \right)$$ \Leftrightarrow 6.\left( {x - 1} \right) = x\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}x = 2{\rm{ }}\left( {nhan} \right)\\x = 3{\rm{ }}\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn C.
Câu
2.Tính tổng S của tất cả các giá trị của x thỏa mãn ${P_2}.{x^2}--{P_3}.x = 8.$A. S = - 4.B. S = - 1.C. S = 4.D. S = 3.
Ta có ${P_2}.{x^2}--{P_3}.x = 8 \Leftrightarrow 2!.{x^2} - 3!.x = 8 \Leftrightarrow 2{x^2} - 6x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}x = - 1\\x = 4\end{array} \right.$-> S = - 1 + 4 = 3Chọn D.
Điều kiện: $x \ge 2$ và $x \in \mathbb{N}$.Ta có $3A_x^2 - A_{2x}^2 + 42 = 0 \Leftrightarrow 3.\frac{{x!}}{{\left( {x - 2} \right)!}} - \frac{{\left( {2x} \right)!}}{{\left( {2x - 2} \right)!}} + 42 = 0$$ \Leftrightarrow 3.\left( {x - 1} \right).x - \left( {2x - 1} \right).2x + 42 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + x - 42 = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}x = - 7\left( {loai} \right)\\x = 6\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn B.
Câu
4.Cho số tự nhiên x thỏa mãn $A_x^{10} + A_x^9 = 9A_x^8$. Mệnh đề nào sau đây đúng?A. x là số chính phương.B. x là số nguyên tố.C. x là số chẵn.D. x là số chia hết cho 3
Điều kiện: $x \ge 10$ và $x \in \mathbb{N}$.Ta có $A_x^{10} + A_x^9 = 9A_x^8 \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{\left( {x - 10} \right)!}} + \frac{{x!}}{{\left( {x - 9} \right)!}} = 9\frac{{x!}}{{\left( {x - 8} \right)!}}$$ \Leftrightarrow \frac{1}{1} + \frac{1}{{x - 9}} = \frac{9}{{\left( {x - 9} \right)\left( {x - 8} \right)}} \Leftrightarrow {x^2} - 16x + 55 = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}x = 11\left( {nhan} \right)\\x = 5\left( {loai} \right)\end{array} \right..$ Chọn B.
Câu
5.Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ thỏa mãn $A_n^3 + 5A_n^2 = 2\left( {n + 15} \right)$?A. 0.B. 1C. 2D. 3
Điều kiện: $n \ge 3$ và $n \in \mathbb{N}.$Ta có $A_n^3 + 5A_n^2 = 2\left( {n + 15} \right) \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} + 5.\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - 2n - 30 = 0$$ \Leftrightarrow \left( {n - 2} \right).\left( {n - 1} \right).n + 5.\left( {n - 1} \right).n - 2n - 30 = 0 \Leftrightarrow {n^3} + 2{n^2} - 5n - 30 = 0 \Leftrightarrow n = 3.$ Chọn B.
Câu
6.Tìm giá trị $n \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $C_{n + 1}^1 + 3C_{n + 2}^2 = C_{n + 1}^3.$A. n = 12.B. n = 9.C. n = 16.D. n = 2.
Điều kiện: $n \ge 2$ và $n \in \mathbb{N}.$Ta có $C_{n + 1}^1 + 3C_{n + 2}^2 = C_{n + 1}^3 \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{1!.n!}} + 3.\frac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{2!.n!}} = \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{3!.\left( {n - 2} \right)!}}$$ \Leftrightarrow n + 1 + 3.\frac{{\left( {n + 1} \right).\left( {n + 2} \right)}}{2} = \frac{{\left( {n - 1} \right).n.\left( {n + 1} \right)}}{6} \Leftrightarrow 1 + 3.\frac{{\left( {n + 2} \right)}}{2} = \frac{{\left( {n - 1} \right).n.}}{6}$$ \Leftrightarrow 6 + 9n + 18 = {n^2} - n \Leftrightarrow {n^2} - 10n - 24 = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}n = - 2\left( {loai} \right)\\n = 12\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn A.
Câu
7.Tính tích P của tất cả các giá trị của x thỏa mãn $C_{14}^x + C_{14}^{x + 2} = 2C_{14}^{x + 1}.$A. P = 4.B. P = 32.C. P = - 32.D. P = 12.
Điều kiện: $0 \le x \le 12$ và $x \in \mathbb{N}$.Ta có $C_{14}^x + C_{14}^{x + 2} = 2C_{14}^{x + 1} \Leftrightarrow \frac{{14!}}{{x!\left( {14 - x} \right)!}} + \frac{{14!}}{{\left( {x + 2} \right)!\left( {12 - x} \right)!}} = 2\frac{{14!}}{{\left( {x + 1} \right)!\left( {13 - x} \right)!}}$$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{{\left( {14 - x} \right)\left( {13 - x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = 2.\frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {13 - x} \right)}}\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) + \left( {14 - x} \right)\left( {13 - x} \right) = 2\left( {x + 2} \right)\left( {14 - x} \right)\end{array}$$ \Leftrightarrow {x^2} - 12x + 32 = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l} x = 4\\ x = 8 \end{array} \right. \to P = 4.8 = 32.$Chọn B.
Câu
8.Tính tổng S của tất cả các giá trị của $n$ thỏa mãn $\frac{1}{{C_n^1}} - \frac{1}{{C_{n + 1}^2}} = \frac{7}{{6C_{n + 4}^1}}.$A. S = 8.B. S = 11.C. S = 12.D. S = 15.
Điều kiện: $n \ge 1$ và $n \in \mathbb{N}$.Ta có $\frac{1}{{C_n^1}} - \frac{1}{{C_{n + 1}^2}} = \frac{7}{{6C_{n + 4}^1}} \Leftrightarrow \frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{n!}} - \frac{{2!.\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {n + 1} \right)!}} = \frac{{7\left( {n + 3} \right)!}}{{6\left( {n + 4} \right)!}} \Leftrightarrow \frac{1}{n} - \frac{2}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{7}{{6\left( {n + 4} \right)}}$$ \Leftrightarrow {n^2} - 11n + 24 = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}n = 3\left( {nhan} \right)\\n = 8\left( {nhan} \right)\end{array} \right. \to S = 3 + 8 = 11.$ Chọn B.
Câu
9.Tìm giá trị $x \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $C_x^0 + C_x^{x - 1} + C_x^{x - 2} = 79.$A. x = 13.B. x = 17.C. x = 16.D. x = 12.
Điều kiện: $x \in \mathbb{N}$.Ta có $C_x^0 + C_x^{x - 1} + C_x^{x - 2} = 79 \Leftrightarrow C_x^0 + C_x^1 + C_x^2 = 79$$ \Leftrightarrow 1 + x + \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{2} = 79 \Leftrightarrow {x^2} + x - 156 = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}x = 12\left( {nhan} \right)\\x = - 13\left( {loai} \right)\end{array} \right..$ Chọn D.
Câu
10.Tìm giá trị $n \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n = 7\left( {n + 3} \right).$A. n = 15.B. n = 18.C. n = 16.D. n = 12.
Điều kiện: $n \in \mathbb{N}$.Ta có $C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n = 7\left( {n + 3} \right) \Leftrightarrow C_{n + 4}^3 - C_{n + 3}^3 = 7\left( {n + 3} \right)$$ \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 4} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{3!}} - \frac{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}{{3!}} = 7 \Leftrightarrow 3n - 36 = 0 \Leftrightarrow n = 12\left( {nhan} \right).$ Chọn D.
Câu
11.Tìm giá trị $n \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 = \frac{{7n}}{2}.$A. n = 3.B. n = 4.C. n = 6.D. n = 8.
Ta có $C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 = \frac{{7n}}{2} \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} + \frac{{n!}}{{2!.\left( {n - 2} \right)!}} + \frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} = \frac{{7n}}{2}$$ \Leftrightarrow {n^2} - 16 = 0 \to n = 4.$ Chọn B.
Câu
12.Tính tổng S của tất cả các giá trị của x thỏa $C_x^1 + 6C_x^2 + 6C_x^3 = 9{x^2} - 14x.$A. S = 2.B. S = 7.C. S = 9.D. S = 14.
Điều kiện: $x \ge 3$ và $x \in \mathbb{N}.$Ta có $C_x^1 + 6C_x^2 + 6C_x^3 = 9{x^2} - 14x \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{1!.\left( {x - 1} \right)!}} + 6.\frac{{x!}}{{2!.\left( {x - 2} \right)!}} + 6.\frac{{x!}}{{3!.\left( {x - 3} \right)!}} = 9{x^2} - 14x$$ \Leftrightarrow x + 3x\left( {x - 1} \right) + \left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)x = 9{x^2} - 14x \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}x = 0\left( {loai} \right)\\x = 2\left( {loai} \right)\\x = 7\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn B.
Câu
13.Tìm giá trị $n \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $C_n^6 + 3C_n^7 + 3C_n^8 + C_n^9 = 2C_{n + 2}^8.$A. n = 18.B. n = 16.C. n = 15.D. n = 14.
Điều kiện: $n \ge 9$ và $n \in \mathbb{N}.$Áp dụng công thức $C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}$, ta có $C_n^6 + 3C_n^7 + 3C_n^8 + C_n^9 = 2C_{n + 2}^8$$ \Leftrightarrow C_n^6 + C_n^7 + 2\left( {C_n^7 + C_n^8} \right) + C_n^8 + C_n^9 = 2C_{n + 2}^8 \Leftrightarrow C_{n + 1}^7 + 2C_{n + 1}^8 + C_{n + 1}^9 = 2C_{n + 2}^8$$ \Leftrightarrow \left( {C_{n + 1}^7 + C_{n + 1}^8} \right) + \left( {C_{n + 1}^8 + C_{n + 1}^9} \right) = 2C_{n + 2}^8 \Leftrightarrow C_{n + 2}^8 + C_{n + 2}^9 = 2C_{n + 2}^8$$ \Leftrightarrow C_{n + 2}^9 = C_{n + 2}^8 \to n + 2 = 9 + 8 \Leftrightarrow n = 15.$ Chọn C.
Câu
14.Đẳng thức nào sau đây là sai?A. $C_{2007}^7 = C_{2006}^7 + C_{2006}^6.$B. $C_{2007}^7 = C_{2006}^{2000} + C_{2006}^6.$C. $C_{2007}^7 = C_{2006}^{2000} + C_{2006}^{1999}.$D. $C_{2007}^7 = C_{2006}^7 + C_{2006}^{2000}.$
Áp dụng công thức $C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}$, ta có $C_{2006}^6 + C_{2006}^7 = C_{2007}^7$. Do đó A đúng.Áp dụng công thức $C_n^k = C_n^{n - k} \to \left\{ \begin{array}{l} C_{2006}^6 = C_{2006}^{2000}\\ C_{2006}^7 = C_{2006}^{1999} \end{array} \right..$Suy ra $C_{2007}^7 = C_{2006}^6 + C_{2006}^7 = C_{2006}^{2000} + C_{2006}^{1999} = C_{2006}^{2000} + C_{2006}^7$. Do đó C, D đúng; B sai.Chọn B.
Câu
15.Đẳng thức nào sau đây là đúng?A. $1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = C_{n + 1}^2.$B. $1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = A_{n + 1}^2.$C. $1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = C_n^1 + C_n^2 + .... + C_n^n.$D. $1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = A_n^1 + A_n^2 + .... + A_n^n.$
Ta có $1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}$ và $C_{n + 1}^2 = \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{2!\left( {n + 1 - 2} \right)!}} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}.$Do đó A đúng. Chọn A.
Câu
16.Tính tích P của tất cả các giá trị của $n$ thỏa mãn ${P_n}A_n^2 + 72 = 6\left( {A_n^2 + 2{P_n}} \right).$A. P = 12.B. P = 5.C. P = 10.D. P = 6.
Điều kiện: $n \ge 2$ và $n \in \mathbb{N}.$Ta có ${P_n}A_n^2 + 72 = 6\left( {A_n^2 + 2{P_n}} \right) \Leftrightarrow n!.\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} + 72 = 6\left< {\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} + 2.n!} \right>$$ \Leftrightarrow n!.\left( {n - 1} \right).n + 72 = 6\left< {\left( {n - 1} \right)n + 2.n!} \right> \Leftrightarrow \left( {n! - 6} \right)\left( {{n^2} - n - 12} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l} {n^2} - n - 12 = 0\\ n! - 6 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l} n = 4\left( {nhan} \right)\\ n = - 3\left( {loai} \right)\\ n = 3\left( {nhan} \right) \end{array} \right. \to P = 4.3 = 12.$Chọn A.
Câu
17.Tính tích P của tất cả các giá trị của x thỏa mãn $7\left( {A_{x + 1}^{x - 1} + 2{P_{x - 1}}} \right) = 30{P_x}.$A. P = 7.B. P = 4.C. P = 28.D. P = 14.
Điều kiện: $x \ge 1$ và $x \in \mathbb{N}$.Ta có $7\left( {A_{x + 1}^{x - 1} + 2{P_{x - 1}}} \right) = 30{P_x} \Leftrightarrow 7\left< {\frac{{\left( {x + 1} \right)!}}{{2!}} + 2\left( {x - 1} \right)!} \right> = 30x!$$ \Leftrightarrow 7\left< {\frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{2} + 2} \right> = 30x \Leftrightarrow 7{x^2} - 53x + 28 = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}x = 7\left( {nhan} \right)\\x = \frac{4}{7}\left( {loai} \right)\end{array} \right. \to P = 7.$ Chọn A.
Câu
18.Tìm giá trị $n \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $C_{n + 8}^{n + 3} = 5A_{n + 6}^3.$A. n = 15.B. n = 17.C. n = 6.D. n = 14.
Áp dụng công thức $C_n^k = C_n^{n - k}$, ta có $C_{n + 8}^{n + 3} = 5A_{n + 6}^3 \Leftrightarrow C_{n + 8}^5 = 5.A_{n + 6}^3$$ \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 8} \right)\left( {n + 7} \right)}}{{5!}} = 5 \Leftrightarrow {n^2} + 15n - 544 = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}n = 17\left( {nhan} \right)\\n = - 32\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn B.
Câu
19.Tìm giá trị $x \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $A_x^2.C_x^{x - 1} = 48.$A. x = 4.B. x = 3.C. x = 7.D. x = 12.
Điều kiện: $x \ge 2$ và $x \in \mathbb{N}$.Ta có $A_x^2.C_x^{x - 1} = 48 \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{\left( {x - 2} \right)!}}.\frac{{x!}}{{\left( {x - 1} \right)!.1!}} = 48$$ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)x.x = 48 \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - 48 = 0 \Leftrightarrow x = 4\left( {tho\^u a ma\~o n} \right).$ Chọn A.
Câu
20.Tìm giá trị $n \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $A_n^2 - C_{n + 1}^{n - 1} = 5.$A. n = 3.B. n = 5.C. n = 4.D. n = 6.
Điều kiện: $n \ge 2$ và $n \in \mathbb{N}.$Ta có $A_n^2 - C_{n + 1}^{n - 1} = 5 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!2!}} = 5 \Leftrightarrow \left( {n - 1} \right).n - \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} - 5 = 0$$ \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 10 = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}n = - 2\;\left( {loai} \right)\\n = 5\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn B.
Câu
21.Tính tích P của tất cả các giá trị của $n$ thỏa mãn $A_n^2 - 3C_n^2 = 15 - 5n.$A. P = 5.B. P = 6.C. P = 30.D. P = 360.
Điều kiện: $n \ge 2$ và $n \in \mathbb{N}.$Ta có $A_n^2 - 3C_n^2 = 15 - 5n \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - 3.\frac{{n!}}{{2!.\left( {n - 2} \right)!}} = 15 - 5n$$ \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) - 3\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 15 - 5n \Leftrightarrow - {n^2} + 11n - 30 = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}n = 6\left( {nhan} \right)\\n = 5\left( {nhan} \right)\end{array} \right.$-> P = 5.6 = 30Chọn C.
Câu
22.Tìm giá trị $x \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $3A_x^4 = 24\left( {A_{x + 1}^3 - C_x^{x - 4}} \right).$A. x = 3.B. x = 1.C. x = 5.D. $x = 1;{\rm{ }}x = 5.$
Điều kiện: $x \ge 4$ và $x \in \mathbb{N}$.Ta có $3A_x^4 = 24\left( {A_{x + 1}^3 - C_x^{x - 4}} \right) \Leftrightarrow 23.\frac{{x!}}{{\left( {x - 4} \right)!}} = 24.\left< {\frac{{\left( {x + 1} \right)!}}{{\left( {x - 2} \right)!}} - \frac{{x!}}{{\left( {x - 4} \right)!.4!}}} \right>$$ \Leftrightarrow 23.\frac{1}{{\left( {x - 4} \right)!}} = 24.\left< {\frac{{x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)!}} - \frac{1}{{\left( {x - 4} \right)!.4!}}} \right> \Leftrightarrow 23.\frac{1}{1} = 24.\left< {\frac{{x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} - \frac{1}{{1.24}}} \right>$$ \Leftrightarrow 23 = 24.\frac{{x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} - 1 \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = 1 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}x = 1\left( {loai} \right)\\x = 5\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn C.
Câu
23.Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ thỏa mãn $\frac{{A_{n + 4}^4}}{{\left( {n + 2} \right)!}} B. 2C. 3D. Vô số.
Điều kiện: $n \in \mathbb{N}$.Ta có $\frac{{A_{n + 4}^4}}{{\left( {n + 2} \right)!}} $ \Leftrightarrow \left( {n + 3} \right)\left( {n + 4} \right) Câu 24.Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ thỏa mãn $2C_{n + 1}^2 + 3A_n^2 - 20 B. 2C. 3D. Vô số.
Điều kiện: $n \ge 2$ và $n \in \mathbb{N}$.Ta có $2C_{n + 1}^2 + 3A_n^2 - 20 $ \Leftrightarrow n\left( {n + 1} \right) + 3\left( {n - 1} \right)n - 20 Câu 25.Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ thỏa mãn $2C_{n + 1}^2 + {\rm{ }}3A_n^2 B. 2C. 3D. Vô số.
Điều kiện: $n \ge 2$ và $n \in \mathbb{N}$.Ta có $2C_{n + 1}^2 + {\rm{ }}3A_n^2 $ \Leftrightarrow n\left( {n + 1} \right) + 3\left( {n - 1} \right)x Câu 26.Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ thỏa mãn $14.{P_3}C_{n - 1}^{n - 3} B. 2C. 3D. Vô số.
Điều kiện: $n \ge 3$ và $n \in \mathbb{N}$.Ta có $14.{P_3}C_{n - 1}^{n - 3} $\begin{array}{l} \Leftrightarrow 42\left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right) 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}n 6\end{array} \right.\end{array}$$ \to \left\{ \begin{array}{l}n \ge 7\\n \in \mathbb{N}\end{array} \right..$ Chọn D.
Câu 27.Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}C_x^y - C_x^{y + 1} = 0\\4C_x^y - 5C_x^{y - 1} = 0\end{array} \right..$A. $\left\{ \begin{array}{l}x = 17\\y = 8\end{array} \right..$B. $\left\{ \begin{array}{l}x = 17\\y = - 8\end{array} \right..$C. $\left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = 8\end{array} \right..$D. $\left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 9\end{array} \right..$
Điều kiện: $x \ge y + 1$ và $x,y \in \mathbb{N}$.Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{C_x^y - C_x^{y + 1} = 0}&{\left( 1 \right)}\\{4C_x^y - 5C_x^{y - 1} = 0}&{\left( 2 \right)}\end{array}} \right.$.Phương trình $\left( 1 \right) \Leftrightarrow C_x^y = C_x^{y + 1} \Leftrightarrow y + y + 1 = x \Leftrightarrow x - 2y - 1 = 0$.Phương trình $\left( 2 \right) \Leftrightarrow 4C_x^y = 5C_x^{y - 1} \Leftrightarrow 4.\frac{{x!}}{{y!.\left( {x - y} \right)!}} = 5.\frac{{x!}}{{\left( {y - 1} \right)!.\left( {x - y + 1} \right)!}}$$ \Leftrightarrow \frac{4}{y} = \frac{5}{{x - y + 1}} \Leftrightarrow 4x - 9y + 4 = 0.$Do đó hệ phương trình đã cho $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2y - 1 = 0\\4x - 9y + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 17\\y = 8\end{array} \right.\left( {tho\^u a ma\~o n} \right).$ Chọn A.
Câu
28.Tìm cặp số $\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn $\frac{{C_{x + 1}^y}}{6} = \frac{{C_x^{y + 1}}}{5} = \frac{{C_x^{y - 1}}}{2}.$A. $\left( {x;y} \right) = \left( {8;3} \right).$B. $\left( {x;y} \right) = \left( {3;8} \right).$C. $\left( {x;y} \right) = \left( { - 1;0} \right).$D. $\left( {x;y} \right) = \left( { - 1;0} \right),{\rm{ }}\left( {x;y} \right) = \left( {8;3} \right).$
Điều kiện: $x \ge y + 1$ và $x,y \in \mathbb{N}$.$\frac{{C_{x + 1}^y}}{6} = \frac{{C_x^{y + 1}}}{5} \Leftrightarrow 5.C_{x + 1}^y = 6.C_x^{y + 1} \Leftrightarrow \frac{{5\left( {x + 1} \right)!}}{{y!\left( {x + 1 - y} \right)!}} = \frac{{6x!}}{{\left( {y + 1} \right)!\left( {x - y - 1} \right)!}}$$ \Leftrightarrow \frac{{5\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - y + 1} \right)}} = \frac{6}{{\left( {y + 1} \right)}} \Leftrightarrow 5\left( {y + 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 6\left( {x - y} \right)\left( {x - y + 1} \right)$. $\left( 1 \right)$$\frac{{C_x^{y + 1}}}{5} = \frac{{C_x^{y - 1}}}{2} \Leftrightarrow 2.C_x^{y + 1} = 5.C_x^{y - 1} \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{5.\left( {y + 1} \right)!.\left( {x - y - 1} \right)!}} = \frac{{x!}}{{2.\left( {y - 1} \right)!.\left( {x - y + 1} \right)!}}$$ \Leftrightarrow \frac{1}{{5.y\left( {y + 1} \right)}} = \frac{1}{{2.\left( {x - y} \right)\left( {x - y + 1} \right)}}$ $ \Leftrightarrow 5.y\left( {y + 1} \right) = 2.\left( {x - y} \right)\left( {x - y + 1} \right) \Leftrightarrow 15.y\left( {y + 1} \right) = 6.\left( {x - y} \right)\left( {x - y + 1} \right)$. $\left( 2 \right)$Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra $ \Leftrightarrow 5\left( {y + 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 15.y\left( {y + 1} \right) \Leftrightarrow x + 1 = 3y$. Thay vào $\left( 1 \right)$, ta được$ \Leftrightarrow 15\left( {y + 1} \right)y = 6\left( {2y - 1} \right)2y \Leftrightarrow 3{y^2} - 9y = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}y = 0 \to x = - 1\left( {loai} \right)\\y = 3 \to x = 8\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn A.
Câu
29.Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}C_y^x:C_{y + 2}^x = \frac{1}{3}\\C_y^x:A_y^x = \frac{1}{{24}}\end{array} \right..$A. $\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 1\end{array} \right..$B. $\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 8\end{array} \right..$C. $\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 1\end{array} \right.,{\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 8\end{array} \right..$D. $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 8\end{array} \right..$
Điều kiện: $y \ge x$ và $x,y \in \mathbb{N}$.Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{C_y^x:C_{y + 2}^x = \frac{1}{3}}&{\left( 1 \right)}\\{C_y^x:A_y^x = \frac{1}{{24}}}&{\left( 2 \right)}\end{array}} \right..$Phương trình $\left( 2 \right) \Leftrightarrow \frac{{C_y^x}}{{A_y^x}} = \frac{1}{{24}} \Leftrightarrow 24C_y^x = A_y^x \Leftrightarrow 24.\frac{{y!}}{{x!\left( {y - x} \right)!}} = \frac{{y!}}{{\left( {y - x} \right)!}} \Leftrightarrow \frac{{24}}{{x!}} = 1 \Leftrightarrow x = 4$.Thay $x = 4$ vào $\left( 1 \right)$, ta được $\frac{{C_y^4}}{{C_{y + 2}^4}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow 3C_y^4 = C_{y + 2}^4 \Leftrightarrow 3.\frac{{y!}}{{4!.\left( {y - 4} \right)!}} = \frac{{\left( {y + 2} \right)!}}{{4!.\left( {y - 2} \right)!}}$$ \Leftrightarrow \frac{3}{1} = \frac{{\left( {y + 1} \right)\left( {y + 2} \right)}}{{\left( {y - 3} \right)\left( {y - 2} \right)}} \Leftrightarrow {y^2} - 9y + 8 = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}y = 1 4 = x\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn B.

Xem thêm: Đáp Án Đề Thi Đại Học Môn Toán 2011 Khối D Năm 2011, Đề Thi Đại Học Môn Toán Khối D Năm 2011 ❣️✔️✔️✔️


Câu
30.Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2A_x^y + 5C_x^y = 90\\5A_x^y - 2C_x^y = 80\end{array} \right.$.A. $\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 2\end{array} \right..$B. $\left\{ \begin{array}{l}x = 20\\y = 10\end{array} \right..$C. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 5\end{array} \right..$D. $\left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 3\end{array} \right..$
Điều kiện: $x \ge y$ và $x,y \in \mathbb{N}$.Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = A_x^y\\v = C_x^y\end{array} \right.$, ta được $\left\{ \begin{array}{l}2u + 5v = 90\\5u - 2v = 80\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 20\\v = 10\end{array} \right.$.Ta có $A_n^k = k!C_n^k \to u = y!.v \Leftrightarrow 20 = y!.10 \Leftrightarrow y! = 2 \Leftrightarrow y = 2.$Với $u = 20$, suy ra $A_x^y = 20 \Leftrightarrow A_x^2 = 20 \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{\left( {x - 2} \right)!}} = 20 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)x = 20 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}x = 5\\x = - 4\left( {loai} \right)\end{array} \right..$Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 2\end{array} \right..$ Chọn A.