- mô đun của số phức (z = a + bi) là (left| z ight| = sqrt a^2 + b^2 ge 0)

- Bất đẳng thức Cô-si: (x + y ge 2sqrt xy ) cùng với (x,y > 0)

- Bất đẳng thức Bunhiacopxki: (left( a^2 + b^2 ight)left( c^2 + d^2 ight) ge left( ac + bd ight)^2)

- Bất đẳng thức chứa dấu quý hiếm tuyệt đối: (left| z_1 ight ight| le left| z_1 pm z_2 ight| le left| z_1 ight| + left| z_2 ight|) 


Dạng 1: tìm kiếm số phức vừa lòng điều kiện có mô đun nhỏ dại nhất, béo nhất.

Bạn đang xem: Max min số phức

Phương pháp:

- cách 1: call số phức (z = x + yileft( x,y in R ight)).

- cách 2: chũm (z) với biểu thức đã mang đến tìm quan hệ của (x,y).

- cách 3: Đánh giá bán biểu thức dành được để tìm kiếm max, min, từ đó suy ra (x,y Rightarrow z).


Ví dụ: Cho (z_1;z_2) thỏa mãn nhu cầu (left| z_1 - z_2 ight| = 1;left| z_1 + z_2 ight| = 3.) Tính max(T = left| z_1 ight| + left| z_2 ight|.)

A. (8)

B. (10)

C. (4)

D. (sqrt 10 )

Giải

Đặt (z_1 = x_1 + y_1i;z_2 = x_2 + y_2i.) ((x_1,y_1,x_2,y_2 in R)). Điều khiếu nại đã đến trở thành

+) (left| z_1 - z_2 ight| = 1)( Rightarrow left| x_1 + y_1i - x_2 - y_2i ight| = 1 Leftrightarrow sqrt (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 = 1) 

( Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 - 2x_1x_2 - 2y_1y_2 = 1) (1)

+) (left| z_1 + z_2 ight| = 3 Rightarrow left| x_1 + y_1i + x_2 + y_2i ight| = 3)

( Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 + 2x_1x_2 + 2y_1y_2 = 9) (2)

Cộng vế với vế của (1) với (2) ta được (x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 = 5)

+) (T = left| z_1 ight| + left| z_2 ight| = sqrt x_1^2 + y_1^2 + sqrt x_2^2 + y_2^2 )

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

(T = 1.sqrt x_1^2 + y_1^2 + 1.sqrt x_2^2 + y_2^2 le sqrt left( 1 + 1 ight).left( x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 ight) ) 

( = sqrt 2.5 = sqrt 10 Rightarrow ) (max T = sqrt 10 .)

Đáp án D.


*

Ví dụ: mang đến số phức (z = x + yi) thỏa mãn (left| z - 2 - 4i ight| = left| z - 2i ight|) đồng thời có mô đun bé dại nhất. Tính (N = x^2 + y^2.)

A. (N = 8)

B. (N = 10)

C. (N = 16)

D. (N = 26)

Giải

Gọi (M(x,y)) là vấn đề biểu diễn của số phức (z = x + yi)

+) (left| z - 2 - 4i ight| = left| z - 2i ight|)( Rightarrow (x - 2)^2 + (y - 4)^2 = x^2 + (y - 2)^2 Leftrightarrow - 4x + 4 - 8y + 16 = - 4y + 4)

( Leftrightarrow 4x + 4y = 16 Leftrightarrow x + y - 4 = 0)

Suy ra tập hợp điểm trình diễn của (z) là 1 trong những đường trực tiếp (x + y - 4 = 0)

+) (N = x^2 + y^2 = z ight)

( Rightarrow N)min( Leftrightarrow left| z ight|)min( Leftrightarrow OM)min ( Rightarrow OM ot d:x + y - 4 = 0)


*

Ví dụ: mang lại (z) vừa lòng (left| z - 2 - 4i ight| = sqrt 5 .) tìm max(left| z ight|.)

A. (3sqrt 5 )

B. (5)

C. (sqrt 5 )

D.

Xem thêm: Tạo Trang Bìa Có Khung Bìa Báo Cáo Thực Tập Tốt Nghiệp Đồ Án 3/2022

(sqrt 13 )

Giải

Dấu hiệu: Đề bài bác yêu ước tính max của một mô đun ta thực hiện bất đẳng thức đựng dấu cực hiếm tuyệt đôi.

Ta có: (left| z ight| - left| - 2 - 4i ight| le left| z - 2 - 4i ight| Leftrightarrow left| z ight| - sqrt 20 le sqrt 5 Leftrightarrow left| z ight| le sqrt 20 + sqrt 5 = 3sqrt 5 )