1. Nguyên hàm là gì?

Cho hàm số f(x) xác minh trên K. Hàm số F(x) được call là nguyên hàm của hàm số f(x) bên trên K giả dụ F"(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

Bạn đang xem: Nguyên hàm 1/(x^2+1)

2. Tính chất nguyên hàm

Nguyên hàm có 3 tính chất đặc biệt quan trọng cần nhớ:

*

2. Bảng nguyên hàm

a) Bảng phương pháp nguyên hàm cơ bản

*

b) Bảng nguyên hàm mở rộng

*

3. Các cách thức tính nguyên hàm

Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản

Dạng 2. Sử dụng phương thức ĐỔI BIẾN nhằm tìm nguyên hàm

a) Đổi biến tổng quát

Bước 1: chọn t = φ(x). Trong những số ấy φ(x) là hàm số cơ mà ta lựa chọn thích hợp.Bước 2: Tính vi phân nhị về dt = φ"(x)dxBước 3: biểu thị f(x)dx = g<φ(x)>φ"(x)dx = g(t)dt.Bước 4: khi đó $I = int fleft( x ight)dx $ $ = int gleft( t ight)dt $ $ = Gleft( t ight) + C$

Ví dụ: tra cứu nguyên hàm của hàm số $I = int frac1xsqrt ln x + 1 dx $

Hướng dẫn giải

Bước 1: lựa chọn $t = sqrt ln x + 1 Rightarrow t^2 = ln x + 1$Bước 2: Tính vi phân nhị về dt = – 3sinx.dxBước 3: biểu hiện $int fleft( x ight)dx = – frac13int frac1t.dt $Bước 4: khi đó $I = – frac13ln left| t ight| + C$ $ = – frac13ln left| 1 + 3cos x ight| + C$

b) Đổi biến dạng 1

*

c) Đổi biến dị 2

*

Dạng 3. Nguyên hàm từng phần

*

Nguyên tắc chung để tại vị u với dv: tìm kiếm được v thuận tiện và ∫v.du tính được

Nhấn mạnh: trang bị tự ưu tiên khi lựa chọn đặt u: “Nhất lô, nhị đa, tam lượng, tứ mũ” (hàm lôgarit, hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ).

Ví dụ: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.e2x

Hướng dẫn giải

Bước 1: Đặt $left{ eginarrayl u = ln left( 2x ight)\ dv = x.dx endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl du = frac1x\ v = fracx^22 endarray ight.$

Bước 2: Ta thấy $Fleft( x ight) = int fleft( x ight) dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – int frac1x.fracx^22 dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – fracx^24 + C$ $ = fracx^22.left( ln left( 2x ight) – frac12 ight) + C$

Dạng 4. Cách tính nguyên hàm sử dụng máy tính

Cho nguyên hàm $int fleft( x ight)dx $ = F(x) + C. Hãy kiếm tìm f(x) hoặc F(x)

Hướng dẫn

Để giải, mình sẽ hướng dẫn bí quyết bấm máy vi tính nguyên hàm cấp tốc theo 3 cách sau:

Bước 1: nhấn shift $fracddxleft( Fleft( x ight) ight) – fleft( X ight)$

Bước 2: nhận phím Calc nhập X = 2.5

Bước 3: Đánh giá bán nghiệm

Nếu tác dụng bằng 0 (gần bởi 0 ) thì đó là đáp án buộc phải chọn

Ví dụ: Tìm toàn bộ nghiệm của hàm số f(x) = $frac12x + 3$ là

A. $frac12.lnleft| 2x + 3 ight| + C$

B. $frac12.lnleft( 2x + 3 ight) + C$

C. Ln|2x + 3| + C

D. $frac1ln 2.$ln|2x + 3| + C

Hướng dẫn bấm trang bị tính

Bước 1: Nhập vào máy vi tính casio $fracddxleft( frac12.ln left( ight) ight)_x = X – frac12x + 3$

Bước 2: CALC X = -2

Lưu ý: Trong hiệu quả A với C nếu cho X = 2 thì đầy đủ cho tác dụng là 0. Vậy khi gồm trị hoàn hảo thì đến X một giá trị cho biểu thức vào trị hoàn hảo và tuyệt vời nhất âm.

Kết luận: Chọn giải đáp A.

Dạng 5. Tính nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm dạng $left< eginarrayl I = int P(x)sin axdx \ I = int P(x)c mosaxdx endarray ight.$ với $P(x)$ là một đa thứcTa lựa lựa chọn một trong hai biện pháp sau:

Cách 1: thực hiện nguyên hàm từng phần, thực hiện theo công việc sau:

Bước 1: Đặt: $left{ eginarrayl u = P(x)\ dv = left< eginarrayl mathop m s olimits minaxdx\ mcosaxdx endarray ight. endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = P"(x)dx\ v = left< eginarrayl frac – 1ac mosax\ frac m1 masin ax endarray ight. endarray ight.$Bước 2: ráng vào công thức nguyên hàm từng phần.Bước 3: liên tục thủ tục như bên trên ta sẽ khử được bậc của đa thức.

Xem thêm: Hình Ảnh Trang Phục Dân Tộc Mường, Làng Văn Hóa

* Cách 2: Sử dụng phương pháp hệ số bất định, triển khai theo các bước sau:

Bước 1: Ta có: $I = int P(x)c mosaxdx $ $ m = A(x)sinax + B(x)cosax + C$ $(1)$, trong các số ấy $A(x)$ cùng $B(x)$ là những đa thức thuộc bậc với $P(x).$ Bước 2: đem đạo hàm hai vế của $(1)$: $P(x)c mosax$ $ m = A"(x)cosax – A(x)a m.sinax$ $ m + B"(x)sinax + aB(x)cosax.$Bước 3: Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta xác định được $A(x)$ cùng $B(x).$

Nhận xét: nếu như bậc của nhiều thức lớn hơn $3$ thì phương pháp 1 tỏ ra cồng kềnh, vì lúc ấy ta tiến hành số lần nguyên hàm từng phần bởi với số bậc của đa thức, cho nên ta đi đến nhận định như sau:

Nếu bậc của đa thức nhỏ dại hơn hoặc bởi $2$: Ta sử dụng cách 1.Nếu bậc của nhiều thức to hơn hoặc bằng $3$: Ta sử dụng cách 2.

Ví dụ: Tìm nguyên hàm $int xsin ^2xdx .$

Giải

Ta có: $I = int xleft( frac1 – c mos2x2 ight)dx $ $ = frac12int xdx – frac12int xcos 2xdx $ $ = frac14x^2 – frac12J$ $(1).$

Tính: $J = int xcos 2xdx .$

Đặt: $left{ eginarrayl u = x\ dv = c mos2xdx endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = dx\ v = frac12sin 2x endarray ight.$ $ Rightarrow J = fracx2sin 2x – frac12int sin 2xdx $ $ = fracx2sin 2x + frac14c mos2x + C.$

Thay vào $(1)$: $I = frac14x^2 – frac12left( fracx2sin 2x + frac14c mos2x ight)$ $ = frac14left( x^2 – xsin 2x – frac12c mos2x ight) + C.$

3. Bài tập nguyên hàm

Bài tập 2: Tìm nguyên hàm $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx .$

Giải

Theo thừa nhận xét trên, ta sử dụng phương thức hệ số bất định. Ta có: $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx $ $ = left( a_1x^3 + b_1x^2 + c_1x + d_1 ight)c mosx$ $ m + left( a_2x^3 + b_2x^2 + c_2x + d_2 ight)mathop m s olimits minx$ $(1).$

Lấy đạo hàm nhì vế của $(1)$:

$ Leftrightarrow left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minx$ $ m = < ma_ m2x^3 + left( 3a_1 + b_2 ight)x^2$ $ + left( 2b_1 + c_2 ight)x + c_1 + d_2 m>cosx$$ – < ma_ m1x^3 – left( 3a_2 – b_1 ight)x^2$ $ – left( 2b_2 – c_1 ight)x + c_2 – d_1>sin x$ $(2).$

Đồng độc nhất vô nhị thức ta được: $left{ eginarrayl a_2 = 0\ 3a_1 + b_2 = 0\ 2b_1 + c_2 = 0\ c_1 + d_2 = 0 endarray ight.$ và $left{ eginarrayl – a_1 = 1\ 3a_2 – b_1 = – 1\ 2b_2 – c_1 = 2\ – c_2 + d_1 = – 3 endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayl a_1 = – 1;a_2 = 0\ b_1 = 1;b_2 = 3\ c_1 = 4;c_2 = – 2\ d_1 = 1;d_2 = – 4 endarray ight.$

Khi đó: $I = left( – x^3 + x^2 + 4x + 1 ight)c mosx$ $ m + left( m3 mx^ m2 – 2x + 4 ight)mathop m s olimits minx + C.$