(THPTQG – 2017 – 105) Cho \( F(x)=-\frac{1}{3{{x}^{3}}} \) là một nguyên hàm của hàm số \( \frac{f(x)}{x} \). Tìm nguyên hàm của hàm số \( {f}"(x)\ln x \).

A. \( \int{{f}"(x)\ln xdx}=\frac{\ln x}{{{x}^{3}}}+\frac{1}{5{{x}^{5}}}+C \)

B. \( \int{{f}"(x)\ln xdx}=\frac{\ln x}{{{x}^{3}}}-\frac{1}{5{{x}^{5}}}+C \)

C. \( \int{{f}"(x)\ln xdx}=-\frac{\ln x}{{{x}^{3}}}+\frac{1}{3{{x}^{3}}}+C \)

D. \( \int{{f}"(x)\ln xdx}=\frac{\ln x}{{{x}^{3}}}+\frac{1}{3{{x}^{3}}}+C \)




Bạn đang xem: Nguyên hàm 1/x^3

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có: \( {F}"(x)=\frac{f(x)}{x}\Rightarrow f(x)=x.{F}"(x)=x.\left( -\frac{1}{3}{{x}^{-3}} \right)=\frac{1}{{{x}^{3}}}={{x}^{-3}} \)

 \( \Rightarrow {f}"(x)=-3{{x}^{-4}}\Rightarrow {f}"(x)\ln x=-3{{x}^{-4}}\ln x \)

Vậy \( \int{{f}"(x)\ln xdx}=\int{-3{{x}^{-4}}\ln xdx}=-3\int{{{x}^{-4}}\ln xdx} \)


Đặt \( \left\{ \begin{align} & u=\ln x \\ & dv={{x}^{-4}}dx \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & du=\frac{1}{x}dx \\ & v=\frac{{{x}^{-3}}}{-3} \\ \end{align} \right. \)

Nên \(\int{{f}"(x)\ln xdx}=-\left( \frac{\ln x}{-3{{x}^{3}}}+\int{\frac{{{x}^{-4}}}{3}dx} \right)=\frac{\ln x}{{{x}^{3}}}-\int{{{x}^{-4}}dx}=\frac{\ln x}{{{x}^{3}}}+\frac{1}{3{{x}^{3}}}+C\)


Gọi g(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=ln(x−1). Cho biết g(2)=1 và g(3)=alnb trong đó a, b là các số nguyên dương phân biệt. Hãy tính giá trị của T=3a^2−b^2
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x)=ln(x+3)/x^2 sao cho F(−2)+F(1)=0. Giá trị của F(−1)+F(2) bằng
Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (H):y=(x−1)/(x+1) và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng
Cho hàm số \( f(x)=\left\{ \begin{align} & 7-4{{x}^{3}}\text{ }khi\text{ }0\le x\le 1 \\ & 4-{{x}^{2}}\text{ }khi\text{ }x>1 \\ \end{align} \right. \). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) và các đường thẳng \( x=0,\text{ }x=3,\text{ }y=0 \)
Giá trị dương của tham số m sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y=2x+3 và các đường thẳng y=0,x=0,x=m bằng 10 là
*



Xem thêm: Khỏe Đẹp Bất Ngờ Từ Việc Uống Đậu Đen Rang Có Tác Dụng Gì, Uống Nước Đậu Đen Rang Có Tác Dụng Gì

Cho hàm số bậc ba y=f(x) có f′(1)=3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m và m∈<−10;10> để