Ta thấy ở nhì ví dụ trên đều có
Bạn đang xem: Nguyên hàm cos
Ký hiệu:
VD:
b) Tính chất
•
•
•
•
2. Bảng nguyên hàm của một trong những hàm số thường gặp
3. Các phương pháp
Phương pháp 1. Áp dụng bí quyết nguyên hàm cơ bản
Ví dụ 1. Tìm những nguyên hàm:
• x$I=intx^8dx=frac19x^9+C$
.• $I=intfracdxx^5=intx^-5dx=frac1-5+1x^-5+1+C=-frac14x^-4+C$
•$I=intfracdx2x=frac12intfracdxx=frac12ln left$
• $I=int an 2xdx=intfracsin 2xcos 2xdx=-frac12intfracdleft( cos 2x ight)cos 2x=-frac12ln left$
• $I=intsin x.cos ^4xdx=-intcos ^4xdleft( cos x ight)=-frac15cos ^5x+C$
• $I=intfracsin x+cos xsin x-cos xdx=intfracdleft( sin x-cos x ight)sin x-cos x=ln left| sin x-cos x ight|+C$
• $I=intfrace^xdxe^x+1=intfracdleft( e^x+1 ight)e^x+1=ln left| e^x+1 ight|+C$
Phương pháp 2. Phương thức đổi biến
a) những dạng đổi đổi mới số hay gặp
b) Ví dụ
• $I=intsqrtx^2004+1.x^2003dx$
Đặt $t=x^2004+1Rightarrow dt=2004x^2003dxRightarrow x^2003dx=frac12004dt$. Từ kia ta được:
$I=frac12004intsqrttdt=frac12004intt^frac12dt=frac12004.frac23t^frac32+C$
$=frac13006sqrtt^3+C=frac13006sqrtleft( x^2004+1 ight)^3+C$
• $I=intx^2left( 1-x ight)^10dx$
Đặt $1-x=tRightarrow dx=-dt$. Từ kia ta được:
$O=intleft( 1-t ight)^2t^10left( -dt ight)=-intleft( 1-2t+t^2 ight).t^10dt=-intt^10dt+2intt^11dt-intt^12dt$
$,,,,,=-frac111t^11+frac16t^12-frac113t^13+C=-frac111left( 1-x ight)^11+frac16left( 1-x ight)^12-frac113left( 1-x ight)^13+C$
• $I=intfracsin x.cos ^3x1+cos ^2xdx=frac12intfrac2sin xcos x.cos ^2x1+cos ^2xdx=frac12intfraccos ^2x1+cos ^2x.sin 2xdx$
Đặt $1+cos ^2x=tRightarrow sin 2xdx=-dt$
$Rightarrow S=frac12fract-1tleft( -dt ight)=-frac12intdt+frac12intfracdtt=-frac12t+frac12ln left$
Phương pháp 3. Phương thức nguyên hàm từng phần
a) văn bản phương pháp
Phương pháp này thường được thực hiện khi ta nên tính nguyên hàm của một tích. Trả sử buộc phải tính $I=intf_1left( x ight).f_2left( x ight)dx$, ta làm như sau:
b) Chú ý
Thứ từ ưu tiên để $u$ trong phương thức Nguyên hàm từng phần:
Lôgarít $ o $ Đa thức $ o $ hàm lượng giác $ o $ Hàm mũ
c) Ví dụ
•$I=intx extsin2xdx$
$Rightarrow I=-frac12xcos 2x+frac12intcos 2xdx=-frac12xcos 2x+frac14sin 2x+C$
•$I=intxcos ^22xdx=intx.frac1+cos 4x2dx=frac12intxdx+intfrac12xcos 4xdx=frac14x^2+I_1$
Tính $I_1=intfrac12xcos 4xdx$.
$Rightarrow I_1=frac18xsin 4x-frac18intsin 4xdx=frac18xsin 4x+frac132cos 4x+C$
Từ đó: $I=frac14x^2+frac18xsin 4x+frac132cos 4x+C$
•$I=intfracxln left( x+sqrtx^2+1 ight)sqrtx^2+1dx$
Ta được $I=sqrtx^2+1ln left( x+sqrtx^2+1 ight)-x+C$
•$I=intln ^2left( x+sqrtx^2+1 ight)dx$
$=xln ^2left( x+sqrtx^2+1 ight)-2sqrtx^2+1.ln left( x+sqrtx^2+1 ight)+2x+C$
•$I=intleft( fracln xx ight)^2dx$. Ta gồm $I=intfracln ^2xx^2dx$.
Ta được $I=-frac1xln x-frac1x+C$
Phương pháp 4. Kết hợp đổi thay đổi số và phương pháp nguyên hàm từng phần
•$I=intsin sqrtxdx$
Đặt $sqrtx=tRightarrow x=t^2Rightarrow dx=2tdtRightarrow I=intsin t.left( 2tdt ight)=int2tsin tdt$
Vậy $I=2sin sqrtx-2sqrtxcos sqrtx+C$
•$I=intsin left( ln x ight)dx$.
Từ đó $I=inte^tsin tdt=fracxleft< sin left( ln x ight)-cos left( ln x ight) ight>2+C$
•$I=intx^8e^x^3dx$.
Từ kia $I=frac13intt^2e^tdt=frac13left( x^6-2x^3+2 ight)e^x^3+C$
•$I=inte^sqrtxdx$.
Phương pháp 5. Tìm kiếm nguyên hàm bằng phương thức dùng nguyên hàm phụ
Giả sử yêu cầu tính $I=intfleft( x ight)dx$. Lúc ấy ta tìm nguyên hàm phụ $J=intgleft( x ight)dx$ làm sao cho việc tính $I+J$ cùng $I-J$ dễ dàng và đơn giản hơn. Chẳng hạn:
• $I=intfracsin xsin x+cos xdx$
Ta có thể xét $J=intfraccos xsin x+cos xdx$
Khi đó:
$I+J=intfracsin x+cos xsin x+cos xdx=intdx=x+C$
$I-J=intfracsin x-cos xsin x+cos xdx=-intfracdleft( sin x+cos x ight)sin x+cos x=-ln left| sin x+cos x ight|+C$
Từ đó suy ra: $2I=x-ln left| sin x+cos x ight|+CRightarrow I=frac12left( x-ln left| sin x+cos x ight| ight)+C$
• $I=intfrac4sin xleft( sin x+cos x ight)^3dx$
Ta có thể xét $J=intfrac4cos xleft( sin x+cos x ight)^3dx$
Khi đó:
$I+J=4intfracsin x+cos xleft( sin x+cos x ight)^3dx=4intfracdxleft( sin x+cos x ight)^2=4intfracdxleft< sqrt2sin left( x+fracpi 4 ight) ight>^2$
$=2intfracdleft( x+fracpi 4 ight)sin ^2left( x+fracpi 4 ight)=-2cot left( x+fracpi 4 ight)+C$
$I-J=4intfracsin x-cos xleft( sin x+cos x ight)^3dx=-4intfracdleft( sin x+cos x ight)left( sin x+cos x ight)^3=2left( sin x+cos x ight)^-2+C$
Từ đó suy ra:
$2I=-2cot left( x+fracpi 4 ight)+2left( sin x+cos x ight)^-2+CRightarrow I=frac1left( sin x+cos x ight)^2-cot left( x+fracpi 4 ight)+C$
B. Bài xích tập tự luyện
Câu 1: Tìm $int(x^3-2x)dx$
A. <3x^2-2+C> B.
C.
Câu 2: Tìm $int(sin x+cos 3x),dx$
A.
C. <-cos x-frac13sin 3x+C> D. <-cos x+frac13sin 3x+C>
Câu 3: Tìm $intleft( 5e^3x-frac16x+7 ight),dx$
A.
C.
Câu 4: Tìm $intsqrtxdx$
A.
C. $frac32xsqrtx+C$ D.
Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=sin ^2x$
A. $intf(x)dx=frac12x+frac14sin ,2x+C$ B.
C.
Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=cos x.cos 3x$
A. $intf(x)dx=-frac18sin ,4x-frac14sin ,2x+C$ B.
C.
Câu 7: Cho
A.
C.
Câu 8: Tìm $int(x+1)e^x^2+2xdx$
A. <2(x+1)e^x^2+2x+C> B.
C.
Câu 9: Khẳng định nào dưới đây sai ?
A.
C.
Câu 10: Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
C.
Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số $y=f(x)=frac3cos ^2(2x-1)$
A.
C. <-3 an (2x-1)+C> D. <-frac32cot (2x-1)+C>
Câu 12: $int2e^xleft( e^x-1 ight)^4dx=fracmn(e^x-1)^k+C$. Lúc ấy
A.
Xem thêm: Bài Tập Trắc Nghiệm Vật Lý 11 Có Đáp Án Và Lời Giải Chi Tiết
m + n + k = 5 B. m + n + k = 7
C. m + n + k =12 D. m + n + k = 16
Câu 13: $intxsin 2xdx=fracm2xcos 2x+fracsin 2xn+C$. Khi ấy
A. 2m + n = 0 B. 2m + n = 2 C. 2m + n =6 D. 2m + n = 8
Câu 14: $intleft( x+3 ight)e^-2xdx=frac-1me^-2x(2x+n)+C$. Khi đó