Ôn Tập Chương 3 Toán 11

Nội dung bài bác ôn tập chươngDãy số, cung cấp số cộng và cấp cho số nhânsẽ giúp những em khối hệ thống hóa lại toàn cục kiến thức đã có học ởChương 3 Đại số cùng Giải tích 11. Bên cạnh đó các em có thể đánh giá mức độ phát âm bài của bản thân mình thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm với những câu hỏi có nút độ cực nhọc từ cơ phiên bản đến nâng cao.

Bạn đang xem: Ôn tập chương 3 toán 11

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Tổng quát nội dung chương III

1.2. Những dạng bài bác tập chương III

2. Bài tập minh hoạ

3.Luyện tập bài 5 chương 3 giải tích 11

3.1. Trắc nghiệm vềÔn tập dãy số, cung cấp số cùng và cung cấp số nhân

3.2. Bài tập SGK & nâng cấp vềÔn tập hàng số, cấp cho số cộng và cấp số nhân

4.Hỏi đáp vềbài 5 chương 3 giải tích 11

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên và thoải mái (n ge 1), ta luôn có:

a) (1^2 + 2^2 + ... + (n - 1)^2 + n^2 = fracn(n + 1)(2n + 1)6)

b) (frac13 + frac23^2 + ... + fracn3^n = frac34 - frac2n + 34.3^n)

a) cách 1: cùng với (n = 1) ta có:

(VT = 1^2 = 1, m VP = frac1(1 + 1)(2.1 + 1)6 = 1 Rightarrow VT = VP)

( Rightarrow ) đẳng thức mang lại đúng với (n = 1).

Bước 2: mang sử đẳng thức mang đến đúng với (n = k ge 1), tức là:

(1^2 + 2^2 + ... + (k - 1)^2 + k^2 = frack(k + 1)(2k + 1)6) (1)

Ta sẽ chứng minh đẳng thức đến đúng cùng với (n = k + 1), có nghĩa là cần chứng minh:

(1^2 + 2^2 + ... + (k - 1)^2 + k^2 + (k + 1)^2 = frac(k + 1)(k + 1)(2k + 3)6) (2).

Thật vây:

(VT(2) = left< 1^2 + 2^2 + ... + k^2 ight> + (k + 1)^2)(mathop = limits^ mdo (1) frack(k + 1)(2k + 1)6 + (k + 1)^2)

( = (k + 1)left< frac2k^2 + k6 + k + 1 ight> = frac(k + 1)(2k^2 + 7k + 6)6)

( = frac(k + 1)(k + 2)(2k + 3)6 = VP(2))

( Rightarrow (2)) đúng ( Rightarrow )đẳng thức mang đến đúng với mọi (n ge 1).

b) * với (n = 1) ta gồm (VT = 1 = VP Rightarrow ) đẳng thức mang lại đúng với (n = 1)

* mang sử đẳng thức đến đúng với (n = k ge 1), tức là:(frac13 + frac23^2 + ... + frack3^k = frac34 - frac2k + 34.3^k) (1)

Ta sẽ minh chứng đẳng thức đến đúng cùng với (n = k + 1), có nghĩa là cần chứng minh

(frac13 + frac23^2 + ... + frack3^k + frack + 13^k + 1 = frac34 - frac2k + 54.3^k + 1) (2).

Thật vậy:(VT(2) = frac34 - frac2k + 34.3^k + frack + 13^k + 1 = frac34 - frac2k + 54.3^k + 1 = VP(2))

( Rightarrow (2)) đúng ( Rightarrow ) đẳng thức cho đúng.

Cho dãy số ((u_n):left{ eginarraylu_1 = 1,u_2 = 2\u_n + 1 = sqrt u_n + sqrt u_n - 1 m forall n ge 2endarray ight.). Minh chứng rằng hàng ((u_n)) là dãy tăng với bị chặn.

Ta chứng tỏ dãy ((u_n)) là dãy tăng bằng phương pháp quy nạp

* dễ thấy: (u_1 sqrt u_k - 1 + sqrt u_k - 2 = u_k)

Vậy ((u_n)) là dãy tăng.

Cũng bởi quy hấp thụ ta chứng tỏ được (u_n 0)

Nên dãy ((u_n)) là hàng bị chặn.

Chứng minh rằng :

a) nếu như phương trình (x^3 - ax^2 + bx - c = 0) có ba nghiệm lập thành CSC thì (9ab = 2a^3 + 27c)

b) ví như phương trình (x^3 - ax^2 + bx - c = 0) có ba nghiệm lập thành CSN thì (c(ca^3 - b^3) = 0)

a) giả sử phương trình có cha nghiệm (x_1,x_2,x_3) lập thành CSC

Suy ra: (x_1 + x_3 = 2x_2) (1)

Mặt khác: (x^3 - ax^2 + bx - c = (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3))

( = x^3 - (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1)x - x_1x_2x_3)

Suy ra (x_1 + x_2 + x_3 = a) (2)

Từ (1) cùng (2), ta suy ra (3x_2 = a) xuất xắc (x_2 = fraca3)

Dẫn cho tới phương trình đang cho bao gồm nghiệm (x_2 = fraca3), tức là:

(left( fraca3 ight)^3 - aleft( fraca3 ight)^2 + bleft( fraca3 ight) - c = 0 Leftrightarrow - frac2a^327 + fracba3 - c = 0 Leftrightarrow 9ab = 2a^3 + 27c)

Ta tất cả đpcm.

b) mang sử tía nghiệm (x_1,x_2,x_3) lập thành CSN, suy ra (x_1x_3 = x_2^2)

Theo phân tích bài xích trên, ta có: (x_1x_2x_3 = c Rightarrow x_2^3 = c Rightarrow x_2 = sqrt<3>c)

Hay phương trình đang cho gồm nghiệm (x_2 = sqrt<3>c), tức là:

(left( sqrt<3>c ight)^3 - aleft( sqrt<3>c ight)^2 + bsqrt<3>c - c = 0 Leftrightarrow bsqrt<3>c = asqrt<3>c^2 Leftrightarrow c(ca^3 - b^3) = 0)

Bài toán được chứng minh.

a) cho tam giác ABC. Chứng tỏ rằng ( an fracA2; an fracB2;)

( an fracC2) lập thành cung cấp số cùng ( Leftrightarrow cos A;cos B;cos C) lập thành cấp cho số cộng.

b) cho tam giác ABC.Chứng minh rằng (cot fracA2;cot fracB2;cot fracC2) lập thành cấp số cùng ( Leftrightarrow sin A;sin B;sin C) lập thành cấp cho số cộng.

a)Ta có: ( an fracA2; an fracB2; an fracC2) lập thành cấp số cộng

( Leftrightarrow an fracA2 + an fracC2 = 2 an fracB2 Leftrightarrow fracsin (fracA2 + fracC2)cos fracA2cos fracC2 = 2fracsin fracB2cos fracB2)

( Leftrightarrow cos ^2fracB2 = sin fracB2left< cos left( fracA2 + fracC2 ight) + cos left( fracA2 - fracC2 ight) ight>)

( Leftrightarrow frac1 + cos B2 = frac1 - cos B2 + frac12left< cos A + cos C ight>)

( Leftrightarrow cos B = fraccos A + cos C2 Leftrightarrow cos A,cos B,cos C) lập thành CSC.

Xem thêm: Cách Tính 2 Mũ 10 - Cách Tính 2 Lũy Thừa 10 Bằng Mấy

b)Ta có: (cot fracA2 - cot fracB2 = cot fracB2 - cot fracC2)

( Leftrightarrow fraccos fracA2sin fracB2 - cos fracB2sin fracA2sin fracA2sin fracB2 = fraccos fracB2sin fracC2 - cos fracC2sin fracB2sin fracC2sin fracB2)

( Leftrightarrow sin fracB - A2cos fracB + A2 = sin fracC - B2.cos fracC + B2)

( Leftrightarrow sin B - sin A = sin C - sin B Leftrightarrow sin A + sin C = 2sin B).