Phương trình nghiệm nguyên thuộc dạng bài tập khó khăn trong lịch trình học môn Toán 8, Toán 9. Các bài toán nghiệm nguyên hay xuyên có mặt tại các bài kiểm tra, bài xích thi học sinh giỏi.

Bạn đang xem: Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên gồm 87 trang tổng phải chăng thuyết, một số trong những lưu ý, phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên và các bài tập bao gồm đáp án kèm theo. Thông qua tài liệu này các bạn có thêm nhiều gợi nhắc ôn tập, củng cố kỹ năng và kiến thức để gấp rút giải được những bài Toán khó. Bên cạnh đó các bàn sinh hoạt sinh tham khảo thêm 50 đề thi HSG Toán 9.

Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên

1. Giải phương trình nghiệm nguyên.

Giải phương trình f(x, y, z, ...) = 0 chứa các ẩn x, y, z, ... Cùng với nghiệm nguyên là tìm tấtcả các bộ số nguyên (x, y, z, ...) thỏa mãn nhu cầu phương trình đó.


2. Một số xem xét khi giải phương trình nghiệm nguyên.

Khi giải những phương trình nghiệm nguyên cần áp dụng linh hoạt các đặc điểm về phân tách hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm ra điểm đặc trưng của những ẩn số cũng giống như các biểu thức chứa ẩn trong phương trình, trường đoản cú đó đưa phương trình về các dạng mà lại ta đã biết phương pháp giải hoặc đưa về những phương trình dễ dàng và đơn giản hơn. Các phương thức thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên là:

Phương pháp dùng đặc thù chia hếtPhương pháp xét số dư từng vếPhương pháp thực hiện bất đẳng thứcPhương pháp dùng đặc điểm của số chính phươngPhương pháp lùi vô hạn, phép tắc cực hạn

B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

I. PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH chia HẾT

Dạng 1: Phát hiện tính phân tách hết của một ẩn

Bài toán 1. Giải phương trình nghiệm nguyên 3 x+17 y=159 (1)

Hướng dẫn giải

Giả sử x, y là những số nguyên thỏa mãn phương trình (1). Ta thấy 159 cùng 3 x những chia hết cho 3 buộc phải

*
 (do 17 cùng 3 nguyên tố cùng nhau).


Đặt

*
cố vào phương trình ta được
*

Do đó:

*
. Demo lại ta thấy thỏa mãn phương trình sẽ cho

Vậy phương trình có nghiệm (x, y)=(53-17 t, 3 t) với t là số nguyên tùy ý.

Bài toán 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 x+13 y=156 (1).

Hướng dẫn giải

- phương thức 1: Ta bao gồm 13y:13 và 156:13 đề nghị

*
 ( vì (2,3)=1).

Đặt x=13 k(

*
) vắt vào (1) ta được: y=-2 k+12

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:

*

- phương thức 2: từ (1)

*

Để

*

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:

*

Chú ý: Phương trình tất cả dang ax + by = c với a,b,c là các số nguyên.

* phương pháp giải:

- phương thức 1: Xét tính phân chia hết của các hang tủ.

- cách thức 2: Thủ ẩn, thực hiện tính phân tách hết tra cứu đî̀u kiện để một phân số phát triển thành số nguyên.

Bài toán 3. Giải phương trình nghiệm nguyên 23 x+53 y=109.

Xem thêm: Tôi Sẽ Luôn Bên Cạnh Bạn Tiếng Anh Là Gì, Blog Hocmai


Hưóng dẫn giải

Ta gồm

*

Ta phải chuyển đổi tiếp phân số

*
để thế nào cho hệ số của trở nên y là 1 .

Phân tích: Ta thêm, sút vào tử số một bội thích hợp của 23

*
Từ đó
*
, Để
*

Đặt

*

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:

*

Bài toán 4 . Tìm nghiệm nguyên của phương trình 11 x+18 y=120

Hưóng dẫn giải

Ta thấy

*
suy ra x=6 k(
*
) chũm vào (1) rút gọn gàng ta được: 11 k+3 y=20

Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có mức giá trị giỏi đối nhỏ (là y) theo k ta được:

*

Tách riêng quý hiếm nguyên của biểu thức này:

*

Lại đặt:

*

Do đó:

*

Thay các biểu thức trên vào phương trình (1) thấy thỏa mãn

Vậy nghiệm của phưng trình là (x, y)=(18 t+6 ; 3-11 t) với

*

Chú ý: a) trường hợp đề bài yêu mong tìm nghiệm nguyên dưong của phương trình (1) thì sau khi tìm được nghiệm tông quát ta có thể giải điêu kiện: