Bài viết phía dẫn quá trình tính tích phân bằng phương thức tích phân từng phần, bên cạnh đó nêu ra một số trong những dạng toán thường chạm mặt và kinh nghiệm tay nghề đặt trở thành số phù hợp khi tiến hành tích phân từng phần.
Bạn đang xem: Phương pháp tích phân từng phần
Phương pháp tích phân từng phần:Nếu $u(x)$ và $v(x)$ là những hàm số bao gồm đạo hàm liên tiếp trên $left< a;b ight>$ thì:$intlimits_a^b u(x)v"(x)dx $ $ = left( u(x)v(x) ight)left| eginarraylb\aendarray ight. – intlimits_a^b v(x)u"(x)dx .$Hay: $intlimits_a^b udv = uvleft .$
Áp dụng cách làm trên ta bao gồm quy tắc tính $intlimits_a^b f(x)dx $ bằng phương thức tích phân từng phần như sau:+ Bước 1: Viết $f(x)dx$ bên dưới dạng $udv = uv’dx$ bằng giải pháp chọn một phần thích hợp của $f(x)$ có tác dụng $u(x)$ với phần còn lại $dv = v"(x)dx.$+ Bước 2: Tính $du = u’dx$ và $v = int dv = int v"(x)dx .$+ Bước 3: Tính $intlimits_a^b vdu = intlimits_a^b vu’dx $ và $uvleft| eginarraylb\aendarray ight. .$+ Bước 4: Áp dụng công thức $intlimits_a^b f(x)dx = intlimits_a^b eginarraylb\aendarray ight. – intlimits_a^b vdu .$
Cách để $u$ với $dv$ trong phương thức tích phân từng phầnĐiều quan trọng đặc biệt khi áp dụng công thức tích phân từng phần là làm nắm nào để lựa chọn $u$ và $dv = v’dx$ thích thích hợp trong biểu thức dưới dấu vết phân $f(x)dx$. Nói chung hãy chọn $u$ là phần của $f(x)$ mà khi rước đạo hàm thì đối kháng giản, chọn $dv = v’dx$ là phần của $f(x)dx$ là vi phân một hàm số vẫn biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.
+ giả dụ tính tích phân $intlimits_alpha ^eta P(x)Q(x)dx $ mà $P(x)$ là đa thức chứa $x$ cùng $Q(x)$ là một trong số đông hàm số: $e^ax$, $sin ax$, $cos ax$ thì ta hay đặt:$left{ eginarraylu = P(x)\dv = Q(x)dxendarray
ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = P"(x)dx\v = int Q(x)dxendarray
ight. $+ Nếu tính tích phân $intlimits_alpha ^eta P(x)Q(x)dx $ mà $P(x)$ là nhiều thức của $x$ với $Q(x)$ là hàm số $ln(ax)$ thì ta đặt: $left{ eginarraylu = Q(x)\dv = P(x)dxendarray
ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = Q’left( x
ight)dx\v = int P(x)dxendarray
ight. $+ ví như tính tích phân $J = intlimits_alpha ^eta e^axsin bxdx $ thì ta đặt $left{ eginarraylu = e^ax\dv = sin bxdxendarray
ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = ae^axdx\v = – frac1bcos bxendarray
ight. $Tương từ với tích phân $I = intlimits_alpha ^eta e^axcos bxdx $, ta đặt $left{ eginarraylu = e^ax\dv = cos bxdxendarray
ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = ae^axdx\v = frac1bsin bxendarray
ight. $Trong trường đúng theo này, ta đề nghị tính tích phân từng phần hai lần tiếp nối trở thành tích phân ban đầu. Từ đó suy ra kết quả tích phân phải tính.
Xem thêm: Sự Tự Tin Là Gì? Ý Nghĩa Của Tự Tin ? Nghị Luận Về Sự Tự Tin (23 Mẫu)
a. Đặt $left{ eginarraylu = ln x\dv = frac1x^5dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = fracdxx\v = – frac14x^4endarray ight.$Do đó: $intlimits_1^2 fracln xx^5dx $ $ = left. – fracln x4x^4 ight|_1^2 + frac14intlimits_1^2 fracdxx^5 $ $ = – fracln 264 + left. frac14left( – frac14x^4 ight) ight|_1^2$ $ = frac15 – 4ln 2256.$b. Đặt $left{ eginarraylu = x\dv = cos xdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = dx\v = sin xendarray ight.$Do đó: $intlimits_0^fracpi 2 xcos xdx $ $ = left( xsin x ight)left| eginarraylfracpi 2\0endarray ight. – intlimits_0^fracpi 2 sin xdx $ $ = fracpi 2 + cos xleft| eginarraylfracpi 2\0endarray ight. = fracpi 2 – 1.$c. Đặt $left{ eginarraylu = x\dv = e^xdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = dx\v = e^xendarray ight.$Do đó: $intlimits_0^1 xe^xdx $ $ = xe^xleft| eginarrayl1\0endarray ight. – intlimits_0^1 e^xdx $ $ = e – e^xleft| eginarrayl1\0endarray ight.$ $ = e – left( e – 1 ight) = 1.$d. Đặt $left{ eginarraylu = e^x\dv = cos xdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = e^xdx\v = sin xendarray ight.$ $ Rightarrow intlimits_0^fracpi 2 e^xcos xdx $ $ = e^xsin xleft| eginarraylfracpi 2\0endarray ight. – intlimits_0^fracpi 2 e^xsin xdx .$Đặt $left{ eginarraylu_1 = e^x\dv_1 = sin xdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu_1 = e^xdx\v_1 = – cos xendarray ight.$$ Rightarrow intlimits_0^fracpi 2 e^xcos xdx $ $ = e^fracpi 2 + e^xcos xleft| eginarraylfracpi 2\0endarray ight. – intlimits_0^fracpi 2 e^xcos xdx $$ Leftrightarrow 2intlimits_0^fracpi 2 e^xcos xdx $ $ = e^fracpi 2 – 1$ $ Leftrightarrow intlimits_0^fracpi 2 e^xcos xdx = frace^fracpi 2 – 12.$
Ví dụ 2: Tính những tích phân sau:a. $I = intlimits_1^3 frac3 + ln x(x + 1)^2dx .$b. $J = intlimits_ – 1^0 (2x^2 + x + 1)ln (x + 2)dx .$
a. Đặt $left{ eginarraylu = 3 + ln x\dv = fracdx(x + 1)^2endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = fracdxx\v = frac – 1x + 1endarray ight.$$I = – left. frac3 + ln xx + 1 m ight|_1^3 + intlimits_1^3 fracdxx(x + 1) $ $ = – frac3 + ln 34 + frac32 + left. ight|_1^3$ $ = frac3 – ln 34 + ln frac32.$b. Đặt $left{ eginarraylu = ln (x + 2)\dv = (2x^2 + x + 1)dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = frac1x + 2dx\v = frac23x^3 + frac12x^2 + xendarray ight.$$J = (frac23x^3 + frac12x^2 + x)ln (x + 2)left| _ – 1^0 ight.$ $ – frac16intlimits_ – 1^0 frac4x^3 + 3x^2 + 6xx + 2dx $$ = – frac16intlimits_ – 1^0 (4x^2 – 5x + 16 – frac32x + 2)dx $ $ = – frac16left. left< frac43x^3 – frac52x^2 + 16x – 32ln (x + 2) ight> ight|_ – 1^0$$ = frac163ln 2 – frac11936.$
Ví dụ 3: Tính tích phân sau: $I = intlimits_0^e – 1 xln (x + 1)dx .$
Đặt $left{ eginarraylu = ln (x + 1)\dv = xdxendarray ight.$ ta có $left{ eginarrayldu = frac1x + 1dx\v = fracx^2 – 12endarray ight.$Suy ra: $I = intlimits_0^e – 1 xln (x + 1)dx $ $ = left. left< ln (x + 1)fracx^2 – 12 ight> ight|_0^e – 1$ $ – frac12intlimits_0^e – 1 (x – 1)dx $ $ = frace^2 – 2e2 – frac12left( fracx^22 – x ight)left| _0^e – 1 ight.$ $ = frace^2 – 34.$Chú ý: Trong lấy ví dụ này, ta chọn $v = fracx^2 – 12$ thay bởi $v = fracx^22$ để bài toán tính tích phân $intlimits_0^e – 1 vdu $ thuận lợi hơn, như vậy bạn đọc rất có thể chọn $v$ một cách khôn khéo để giải thuật được ngắn gọn.