Tìm ảnh của đường thẳng qua phép đối xứng trục rất có thể quy về bài toán tìm hình ảnh của một điểm qua phép đối xứng trục hoặc áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục. Mặc dù biểu thức tọa độ thì chỉ sử dụng được nếu trục đối xứng là Ox hoặc Oy. Trường hợp trục đối xứng là mặt đường thẳng bất cứ khác Ox xuất xắc Oy thì đề xuất làm như thế nào? tất cả các trường hòa hợp và phương pháp giải dạng toán này thầy sẽ lời giải trong bài xích giảng này.
Bạn đang xem: Tìm ảnh của đường thẳng qua phép đối xứng trục
Bài toán tìm ảnh của con đường thẳng qua phép đối xứng trục
Cho đường thẳng d: $ax+by+c=0$ bên trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Tìm hình ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục.
a. Trục đối xứng là Ox hay những Oy
b. Trục đối xứng là 1 trong những đường thẳng $Delta$ bất cứ nào đó.
Để giải câu hỏi này bọn họ sẽ làm cho như sau:
a. Trục đối xứng là Ox hoặc Oy
Phương pháp 1:
Các các bạn lấy 2 điểm A cùng B thuộc đường thẳng d, nhớ lựa chọn tọa độ các điểm cho đẹp 1 chút để dễ tính toán.Tìm hình ảnh của 2 điểm A và B sinh hoạt trên qua phép đối xứng trục Ox hoặc Oy là A’ và B’.Phương pháp 2:
Gọi $M(x;y)$ là vấn đề bất kì trực thuộc d với $M"(x’;y’)$ là hình ảnh của điểm M qua trục đối xứng Ox hoặc Oy.Dựa vào biểu thức tọa độ của từng trục nhằm suy ra x cùng y theo x’ và y’Thay x với y tìm kiếm được ở trên vào phương trình con đường thẳng d, lúc này phương trình con đường thẳng d sẽ được biểu diễn theo x’ và y’. Đó đó là phương trình của mặt đường thẳng d’.Với hai cách này, biện pháp nào cấp tốc hơn, tốt hơn thì phụ thuộc vào vào cảm nhận của các bạn. Thầy sẽ trình bày cả 2 bí quyết trong bài bác tập bên dưới phần lý thuyết.
b. Trục đối xứng là 1 trong đường trực tiếp $Delta$ bất kể nào đó.
Với câu hỏi dạng này thầy sẽ chia thành 3 ngôi trường hợp:
Trường vừa lòng 1: Đường trực tiếp d với trục đối xứng $Delta$ giảm nhau ở một điểm I bất kì.
Với trường đúng theo này sẽ có được 2 biện pháp làm:
Cách 1:
Lấy 2 điểm A và B thuộc mặt đường thẳng d, nhớ lựa chọn tọa độ mang lại đẹp các bạn nhéTìm hình ảnh của 2 điểm A với B qua phép đối xứng trục là mặt đường thẳng $Delta$ là A’ cùng B’Viết phương trình con đường thẳng đi qua A’ và B’. Đường thẳng này đó là đường thẳng d’ (ảnh của con đường thẳng d) bắt buộc tìm.Cách 2:
Tìm tọa độ giao điểm của con đường thẳng d cùng $Delta$ là vấn đề $I$. Ảnh của $I$ qua phép đối xứng trục $Delta$ vẫn chính là $I$. Suy ra $Iin d’$Lấy 1 điều M bất kỳ thuộc đường thẳng d. Tìm ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục $Delta$ là $M’$Viết phương trình đường thẳng trải qua hai điểm $I$ và $M’$. Đường thẳng này chính là d’.Trường phù hợp 2: Đường trực tiếp d tuy nhiên song cùng với trục đối xứng $Delta$. Lúc đó hình ảnh của d là d’ cũng trở nên song tuy vậy với đường thẳng $Delta$.
Vì đường thẳng d bao gồm phương trình: $ax+by+c=0$ suy ra d’ bao gồm phương trình: $ax+by+c’=0$. Các bạn cần kiếm tìm $c’$Lấy 1 điều M thuộc đường thẳng d. Tìm ảnh của điểm M là M’ qua phép đối xứng trục $Delta$Thay tọa độ của điểm M’ vào phương trình d’ => $c’=?$Kết luận phương trình mặt đường thẳng d’.Trường vừa lòng 3: Đường thẳng d vuông góc với trục đối xứng $Delta$. Lúc đó ảnh của mặt đường thẳng d là bao gồm nó. Chúng ta cứ test xem tất cả phải không nhé?
Bài tập tìm hình ảnh của con đường thẳng qua phép đối xứng trục
Bài tập 1: Tìm hình ảnh của con đường thẳng $d: x+2y-3=0$ qua phép đối xứng trục với:
a. Trục đối xứng là Ox
b. Trục đối xứng là Oy
c. Trục đối xứng là con đường thẳng $Delta: x-y+2=0$
Hướng dẫn:
a. Trục đối xứng là Ox nên thầy sẽ trình diễn cả hai cách như vào phần phương thức ở bên trên nhé.
Cách 1:
Lấy điểm $A(3;0); B(1;1)$ thuộc đường thẳng d
Gọi $A’, B’$ thứu tự là hình ảnh của A và B qua phép đối xứng trục Ox. Suy ra $A"(3;0); B(1;-1)$
Gọi d’ là ảnh của mặt đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox => d’ đi qua A’ với B’.
Ta có: $vecA’B’=(-2; -1)$ => hotline $vecn=(1;-2)$
Đường trực tiếp d’ đi qua A’ và nhận $vecn$ có tác dụng vectơ pháp tuyến có phương trình là:
$1(x-3)-2(y-0)=0Leftrightarrow x-2y-3=0$
Vậy phương trình con đường thẳng hình ảnh của d là d’: $x-2y-3=0$
Nếu bạn chưa chắc chắn cách tra cứu tọa độ của điểm hình ảnh thì xem bài giảng này nhé: Tìm ảnh của một điểm qua phép đối xứng trục
Cách 2: sử dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục Ox
Gọi $M(x;y)$ là 1 điểm bất kỳ thuộc d với $M"(x’;y’)$ là ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục Ox.
Ta có: $left{eginarrayllx’=x\y’=-yendarray ight.Leftrightarrow left{eginarrayllx=x’\y=-y’endarray ight.$
Thay x với y làm việc trên vào phương trình mặt đường thẳng d ta có:
$x’+2(-y’)-3=0Leftrightarrow x’-2y’-3=0$
Vậy phương trình đường thẳng d’ là: $x-2y-3=0$
b. Ở ý (b) này các bạn làm tựa như như 2 biện pháp thầy lí giải trong ý (a) nhé. Do về bản chất chúng vẫn giống như nhau, chỉ khác một chút ở biểu thức tọa độ của 2 phép đối xứng trục.
c. Chúng ta quan tâm chính là ở cái ý (c) này, do trục đối xứng giờ là một trong đường thẳng bất kể cho trước. Các bạn xem kĩ chỉ dẫn trong phần phương pháp ở trên nhé.
Nhìn vào phương trình con đường thẳng d cùng $Delta$ ta thấy nhì đường thẳng này không tuy nhiên song, ko vuông góc, ko trùng nhau mà lại chúng giảm nhau.
Gọi giao điểm của mặt đường thẳng d và con đường thẳng $Delta$ là điểm $I$. Tọa độ của $I$ thỏa mãn hệ phương trình sau:
$left{eginarrayllx+2y-3=0\x-y+2=0endarray ight.Leftrightarrow left{eginarrayllx=-frac13\y=frac53endarray ight.Rightarrow I(-frac13;frac53)$
Ảnh của điểm $I$ qua phép đối xứng trục $Delta$ vẫn chính là chính nó.
Lấy điểm $M(3;0)$ thuộc đường thẳng d.
Xem thêm: Soạn Văn Bài Đầu Tiên Của Lớp 12 Ngắn Gọn, Đầy Đủ Và Xúc Tích Nhất
Đường thẳng $d_1$ qua $M$ cùng vuông góc cùng với $Delta$ tất cả phương trình là:
$1(x-3)+1(y-0)=0Leftrightarrow x+y-3=0$
Gọi $M_0$ là giao điểm của đường thẳng $d_1$ và mặt đường thẳng $Delta$, lúc đó tọa độ của điểm $M_0$ thỏa mãn hệ phương trình:
$left{eginarrayllx+y-3=0\x-y+2=0endarray ight.Leftrightarrow left{eginarrayllx=frac12\y=frac52endarray ight.Rightarrow M_0(frac12;frac52)$
Gọi $M"(x’;y’)$ là hình ảnh của điểm $M$ qua phép đối xứng trục là mặt đường thẳng $Delta$, suy ra $M_0$ là trung điểm của $MM’$ và con đường thẳng $Delta$ bây giờ còn gọi là đường trung trực của đoạn $MM’$. Tọa độ của điểm $M’$ là:
$left{eginarrayllx’=2.frac12-3\y’=2.frac52-0endarray ight.Leftrightarrow left{eginarrayllx’=-2\y’=5endarray ight.Rightarrow M"(-2;5)$
Vectơ $vecIM’=(-frac53;frac103)$
Chọn $vecn=(2;1)$ làm vectơ pháp tuyến đường của con đường thẳng $IM’$. Đường thẳng $IM’$ đi qua điểm $M’$ cùng nhận $vecn=(2;1)$ làm cho vectơ pháp tuyến tất cả phương trình là:
$2(x+2)+1(y-5)=0Leftrightarrow 2x+y-1=0$
Vậy phương trình con đường thẳng d’ là : $2x+y-1=0$
Bài giảng này thầy viết có lẽ rằng khá dài buộc phải khó tránh khỏi sai sót. Bởi vậy nếu các bạn muốn thảo luận thêm về bài xích giảng tìm hình ảnh của mặt đường thẳng qua phép đối xứng trục thì có thể comment trong khung comment phía dưới và nhớ hãy nhờ rằng đăng kí nhận bài xích giảng tiên tiến nhất qua thư điện tử nhé.
Bài tập rèn luyện
Bài tập 1: Tìm ảnh của đường thẳng d: $x+y-2=0$ qua:
a. Phép đối xứng trục Ox
b. Phép đối xứng trục Oy
c. Phép đối xứng trục là con đường thẳng $Delta: 2x-y-1=0$
Bài tập 2: Viết phương trình con đường thẳng d’ biết d’ là hình ảnh của mặt đường thẳng d:$2x-3y-5=0$ qua phép đối xứng trục là mặt đường thẳng $Delta: x-frac32y+1=0$
Bài tập 3: Tìm hình ảnh của mặt đường thẳng d: $x+3y+2$ qua phép đối xứng trục là đường thẳng $Delta: 3x-y-4=0$