- Hàm số lũy thừa là hàm số có dạng \(y = {x^\alpha }\left( {\alpha \in R} \right)\).

Bạn đang xem: Tính chất hàm lũy thừa

- Tập xác định:

+ \(\alpha \) nguyên dương: \(D = R\).

+ \(\alpha \) nguyên âm hoặc \(\alpha = 0\): \(D = R\backslash \left\{ 0 \right\}\).

+ \(\alpha \) không nguyên: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).


Đạo hàm:

\(\left( {{x^\alpha }} \right)" = \alpha {x^{\alpha - 1}};{u^\alpha }\left( x \right)" = \alpha u"\left( x \right){u^{\alpha - 1}}\left( x \right)\)

\(\left( {\sqrt{x}} \right)" = \dfrac{1}{{n\sqrt{{{x^{n - 1}}}}}};\left( {\sqrt{{u\left( x \right)}}} \right)" = \dfrac{{u"\left( x \right)}}{{n\sqrt{{{u^{n - 1}}\left( x \right)}}}}\)

Khảo sát hàm số \(y = {x^\alpha }\left( {\alpha \ne 0} \right)\) trên tập \(\left( {0; + \infty } \right)\).

*

Luôn đi qua điểm \(\left( {1;1} \right)\)

*

- Trên đây ta chỉ xét chung các hàm số trên tập \(\left( {0; + \infty } \right)\). Thực tế tập xác định của mỗi hàm số là khác nhau phụ thuộc vào điều kiện của \(\alpha \).

- Tránh nhầm lẫn tập \(\left( {0; + \infty } \right)\) là tập xác định cho mọi hàm số lũy thừa.


- Bước 1: Xác định số mũ \(\alpha \) của hàm số.

- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số xác định.

+ \(\alpha \) nguyên dương: \(D = R\).

+ \(\alpha \) nguyên âm hoặc \(\alpha = 0\): \(D = R\backslash \left\{ 0 \right\}\).

+ \(\alpha \) không nguyên: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).

- Bước 3: Giải các bất phương trình ở trên để tìm tập xác định của hàm số.


Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số.

Phương pháp:

- Bước 1: Áp dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để tính đạo hàm hàm số đã cho.

\(\left( {u \pm v} \right)" = u" \pm v";\left( {uv} \right)" = u"v + uv";\left( {\dfrac{u}{v}} \right)" = \dfrac{{u"v - uv"}}{{{v^2}}}\)

- Bước 2: Tính đạo hàm các hàm số thành phần dựa vào công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản: hàm đa thức, phân thức, hàm mũ, logarit, lũy thừa,…

- Bước 3: Tính toán và kết luận.


Dạng 3: Tìm mỗi quan hệ của các số mũ của các hàm số lũy thừa khi biết đồ thị của chúng.

Xem thêm: A) Thế Nào Là Lớp Và Phân Lớp Electron (Chi Tiết ), Sự Khác Nhau Giữa Lớp Và Phân Lớp Electron

Phương pháp:

Quan sát đồ thị hàm số và nhận xét tính đồng biến, nghịch biến và các điểm đi qua để suy ra tính chất của các số mũ.


Bài 3: Phương pháp giải một số bài toán liên quan đến điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước