Các câu hỏi về hàm con số giác 11 thường sẽ có trong văn bản đề thi cuối kỳ và vào đề thi thpt quốc gia, đó cũng là nội dung kiến thức đặc biệt quan trọng mà những em buộc phải nắm vững.

Bạn đang xem: Toán 11 bài hàm số lượng giác


Bài viết này sẽ hệ thống lại các dạng toán về hàm số lượng giác, từng dạng toán sẽ có được ví dụ và lý giải giải chi tiết để những em dễ dãi vận dụng khi gặp các dạng bài xích tập hàm số lượng giác tương tự.

I. Triết lý về Hàm con số giác

1. Hàm số sin: y = sinx

+ Tập xác định:  và

*

+ y = sinx là hàm số lẻ

+ y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π.

- Hàm số y = sinx nhận các giá trị sệt biệt:

 ° sinx = 0 khi 

 ° sinx = 1 khi 

*

 ° sinx = -1 khi 

*

+ Đồng thị hàm số y = sinx bao gồm dạng:

*

2. Hàm số cosin: y = cosx

+ Tập xác định:  và

*

+ y = cosx là hàm số chẵn

+ y = cosx là hàm số tuần trả với chu kỳ luân hồi 2π.

- Hàm số y = cosx nhận các giá trị đặc biệt:

 ° cosx = 0 khi

 ° cosx = 1 khi

*

 ° cosx = -1 lúc

*

+ Đồng thị hàm số y = cosx có dạng:

*

3. Hàm số tan

+ Hàm số tan: 

*

+ Tập xác định: 

*

+ y = tanx là hàm số lẻ

+ y = tanx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ luân hồi π.

- Hàm số y = tanx nhận những giá trị quánh biệt:

 ° tanx = 0 khi 

 ° tanx = 1 lúc

 ° sinx = -1 khi

+ Đồng thị hàm số y = tanx có dạng:

*

4. Hàm số cot

+ Hàm số cot:

*

+ Tập xác định: 

*

+ y = cotx là hàm số lẻ

+ y = cotx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π.

- Hàm số y = cotx nhận những giá trị quánh biệt:

 ° cotx = 0 lúc

 ° cotx = 1 khi 

 ° sinx = -1 khi 

+ Đồng thị hàm số y = cotx gồm dạng:

*

II. Các dạng toán về hàm số lượng giác

° Dạng 1: tìm tập khẳng định của hàm số

* Phương pháp:

- Tìm điều kiện của biến chuyển số x để hàm số xác định và để ý đến tập xác minh của những hàm số lượng giác.

 Ví dụ 1 (Bài 2 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11): Tìm tập xác định của hàm số:

a) b)

c) d)

° Lời giải bài xích 2 (trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11):

a) Hàm số  xác định:

⇔ sinx ≠ 0

⇔ x ≠ kπ, (k ∈ Z).

- Kết luận: Tập khẳng định của hàm số là D = Rkπ, k ∈ Z.

b) Hàm số  xác định:

*
 (1)

- vị -1 ≤ cosx ≤ 1, ∀x ∈ R, nên

*
 
*
 
*

- vày đó, (1) ⇔ (1 - cosx)≠0 ⇔ cosx≠1 ⇔ x≠k2π.

- Kết luận: Vậy tập khẳng định của hàm số là D = Rk2π, k ∈ Z.

c) Hàm số  xác định:

 

*

 

*

 

*

- Kết luận: Vậy tập khẳng định của hàm số là:

*
 

d) Hàm số  xác định:

 

*

 

*

- Kết luận: Vậy tập khẳng định của hàm số là:

 

*
 

° Dạng 2: xác định hàm số lượng giác là hàm chẵn, hàm lẻ

* Phương pháp:

♦ Để xác định hàm số y=f(x) là hàm chẵn tuyệt lẻ, ta làm cho như sau:

 Bước 1: Tìm tập khẳng định D của hàm y=f(x)

 Bước 2: với x bất kỳ: x ∈ D, ta minh chứng -x ∈ D

 Bước 3: Tính f(-x):

◊ Nếu f(-x) = f(x), ∀x ∈ D thì hàm số y =f(x) là hàm số chẵn;

◊ giả dụ f(-x) = -f(x), ∀x ∈ D thì hàm số y =f(x) là hàm số lẻ;

◊ trường hợp có x ∈ D:

f(-x) ≠ f(x) thì hàm số y =f(x) KHÔNG là hàm số chẵn;

f(-x) ≠ -f(x) thì hàm số y =f(x) KHÔNG là hàm số lẻ;

 Ví dụ 1: điều tra khảo sát tính chẵn lẻ của hàm số sau:

 a) y = tanx + 3sinx

 b) y = 2cosx + sin2x

 c) y = 5sin2x.cos3x

 d) y = 2sinx + 3cosx

* Lời giải:

 a) y = tanx + 3sinx

+ Tập xác định: 

*

+ với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có -x ∈ D

+ Ta có: f(-x) = tan(-x) + 3sin(-x) = -tanx - 3sinx = -(tanx + 3sinx) = -f(x), ∀x ∈ D.

⇒ y = tanx + 3sinx là hàm số lẻ.

 b) y = 2cosx + sin2x

+ Tập xác định: 

+ cùng với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có -x ∈ D

+ Ta có: f(-x) = 2cos(-x) + sin2(-x) = 2cos(x) + 2 = 2cosx + (-sinx)2 = 2cosx + sin2x = f(x),∀x ∈ D.

⇒ y = 2cosx + sin2x là hàm số chẵn.

 c) y = 5sin2x.cos3x

+ Tập xác định: 

+ với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có thể có -x ∈ D

+ Ta có: f(-x) = 5sin(-2x)cos(-3x) = -5sin2x.cos3x = -f(x),∀x ∈ D.

⇒ y = 5sin2x.cos3x là hàm số lẻ.

 d) y = 2sinx + 3cosx

+ Tập xác định: 

+ cùng với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có -x ∈ D

+ Ta xét với 

*

*
*

⇒ y = 2sinx + 3cosx KHÔNG là hàm số chẵn cũng KHÔNG là hàm số lẻ.

* lưu ý: Để minh chứng hàm số y=f(x) ko chẵn (hoặc không lẻ) thì ta đề xuất chỉ ra có tồn trên x ∈ D sao cho: f(-x) ≠ f(x) (hoặc f(-x) ≠ -f(x)).

° Dạng 3: Hàm số tuần hoàn, xác minh chu kỳ tuần hoàn

* Phương pháp:

♦ Để minh chứng y=f(x) (có tập xác minh D) tuần hoàn, cần chứng minh có T ∈ R sao cho:

 1) x + T ∈ D; x - T ∈ D, ∀x ∈ D.

 2) f(x+T) = f(x),∀x ∈ D.

♦ đưa sử hàm số y=f(x) tuần hoàn, nhằm tìm chu kỳ luân hồi tuần hoàn ta đề xuất tìm số dương T nhỏ tuổi nhất thỏa mãn 2 đặc điểm 1) và 2) ở trên.

 Ví dụ 1: Chứng minh hàm số y = sin2x tuần hoàn với chu kỳ π.

* Lời giải: 

- Hàm số y = f(x) = sin2x

+ TXĐ: D=R; x + π ∈ D, x - π ∈ D, ∀x ∈ D.

+ Ta có: f(x + π) = sin2(x + π) = sin(2x + 2π) = sin2x = f(x).

⇒ Hàm số y = sin2x là hàm số tuần hoàn.

+ giả sử có a, với 0 • Ví dụ 2: Chứng minh hàm số  là hàm số tuần hoàn và tìm chu kỳ luân hồi tuần trả của nó.

* Lời giải: 

- Hàm số:

+ TXĐ:

*
 
*

⇒ 

*
*

+ Ta có: 

*

+ Ta có: 

*
 
*
 
*
 

⇒ Hàm số  là hàm số tuần hoàn.

Xem thêm: Đạt Danh Hiệu Tiếng Anh Là Gì, Title Nghĩa Là Gì Trong Tiếng Anh

+ mang sử có a:

*

+ Hàm 

*

 Ví dụ 2: Xác định những khoảng đồng trở nên và khoảng chừng nghịch biến đổi của hàm số y = |sinx| bên trên đoạn <0;2π>.

* Lời giải: 

+ Từ đồ gia dụng thị hàm số y = |sinx| ở trên, ta xét vào đoạn<0;2π> , ta có:

 - Hàm số đồng đổi mới khi 

*

 - Hàm số nghịch thay đổi khi 

*

° Dạng 5: Tìm giá chỉ trị lớn số 1 (GTLN), giá trị bé dại nhất (GTNN) của hàm số lượng giác

* Phương pháp:

- Vận dụng tính chất: -1 ≤ sinx ≤ 1; -1 ≤ cosx ≤ 1

 Ví dụ: Tìm giá chỉ trị lớn nhất (GTLN) và giá trị bé dại nhất (GTNN) của các hàm số sau: