TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING

BỘ MÔN TOÁN THỐNG KÊ

Giáo Trình

TOÁN CAO CẤP

Nhóm biên soạn:Nguyễn Huy Hoàng (Chủ biên)Nguyễn Trung Đông

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2020

MỤC LỤCLời mở đầu.......................................................................................................................... TrangMột số ký hiệu...................................................................................................................Chương 1. Ma trận – Định thức.........................................................................Ma trận.....................................................................................1.1. Định nghĩa ma trận..............................................................................1.1. Ma trận bằng nhau.............................................................1.1. Các ma trận đặc biệt...........................................................................1.1. Các phép toán trên ma trận..................................................................1.1. Các phép biến đổi sơ cấp trên hàng........................................................Định thức................................................................................1.2. Định nghĩa định thức ma trận vuông cấp n.....................................1.2. Định lý khai triển định thức theo một hàng hay một cột bất kỳ.................1.2. Các tính chất định thức.......................................................................1.2. Định lý sự thay đổi của định thức qua các phép biến đổi.....................1.2. Phần bù đại số và ma trận phụ hợp..............................................Ma trận nghịch đảo.....................................................................1.3. Định nghĩa ma trận nghịch đảo..................................................1.3. Giải thuật tìm ma trận nghịch đảo..........................................................1.3. Định lý sự tồn tại của ma trận nghịch đảo...............................................1.3. Một số tính chất của ma trận nghịch đảo......................................Hạng ma trận.............................................................................1.4. Định nghĩa tổng quát hạng của một ma trận....................................1.4. Tính chất.............................................................................................1.4. Phương pháp tìm hạng của ma trận........................................................1.4. Một số bất đẳng thức về hạng của ma trận............................................Bài tập.....................................................................................Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính................................................................Bài tập...................................................................................Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến...........................................................Giới hạn của dãy số thực....................................................................4.1. Định nghĩa dãy, giới hạn của dãy số thực......................................4.1. Các tính chất và các định lý về giới hạn của dãy số thực....................4.1. Một số dãy số thực đặc biệt......................................................Hàm số một biến số.........................................................................4.2. Các khái niệm cơ bản về hàm số................................................4.2. Hàm số hợp...............................................................................................4.2. Hàm số ngược......................................................................4.2. Các hàm số sơ cấp cơ bản..........................................................................4.2. Dáng điệu hàm số .....................................................................................4.2. Một số hàm trong kinh tế..........................................................................Giới hạn hàm số.....................................................................................................4.3. Các định nghĩa giới hạn..........................................................................4.3. Giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản.......................................................4.3. Các dạng vô định....................................................................................4.3. Các giới hạn cơ bản................................................................................Vô cùng bé và vô cùng lớn......................................................................................4.4. Định nghĩa.............................................................................................4.4. Các tính chất........................................................................................Hàm số liên tục.............................................................................4.5. Định nghĩa về hàm số liên tục...............................................................4.5. Tính chất liên tục của hàm sơ cấp..............................................4.5. Các phép toán của hàm liên tục tại một điểm.........................................Đạo hàm...............................................................................................4.6. Khái niệm về đạo hàm..........................................................................4.6. Bảng công thức các đạo hàm cơ bản.........................................4.6. Các quy tắc tính đạo hàm.....................................................4.6. Đạo hàm hàm hợp.............................................................4.6. Đạo hàm của hàm ngược.....................................................4.6. Đạo hàm một phía.............................................................4.6. Đạo hàm cấp cao..............................................................Vi phân.................................................................................................4.7. Định nghĩa vi phân...............................................................................4.7. Sự liên hệ giữa vi phân và đạo hàm..........................................4.7. Tính bất biến của biểu thức vi phân cấp 1..................................4.7. Các quy tắc tính vi phân......................................................4.7. Vi phân cấp cao................................................................Các định lý cơ bản về hàm số khả vi...................................................................4.8. Định lý Fermat4.8. Định lý Rolle ..................................................................4.8. Định lý Lagrange.............................................................4.8. Định lý Cauchy................................................................Một số ứng dụng của đạo hàm và vi phân..............................................4.9. Khử dạng vô định 00 ,......................................................................4.9. Tính gần đúng..................................................................4.9. Khảo sát tính tăng, giảm và cực trị của hàm số............................4.9. Khai triển Taylor – Maclaurin...............................................4.9. Ứng dụng trong bài toán kinh tế.............................................Bài tập....................................................................................Chương 5. Tích phân....................................................................................Tích phân bất định.........................................................................5.1. Nguyên hàm và tích phân bất định.............................................5.1. Bảng công thức các tích phân cơ bản.........................................5.1. Các phương pháp tính tích phân bất định.....................................Tích phân xác định........................................................................5.2. Định nghĩa các tính chất của tích phân xác định.............................5.2. Các tính chất cơ bản của tích phân xác định..........................................5.2. Công thức NewTon – Leibnitz ................................................5.2. Các phương pháp tính tích phân xác định..............................................5.2. Ứng dụng tích phân xác định..................................................................Tích phân suy rộng...............................................................................................7.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất......Một số ứng dụng trong kinh tế.............................................................................7.3. Tìm hàm y f(x) khi biết hệ số co dãn...............................................7.3. Mô hình cân bằng thị trường với kỳ vọng về giá............................Bài tập......................................................................................Một số đề tham khảo....................................................................................pháp quy nạp............................................................................................. Phụ lục 1ập số, tổng, tích hữu hạn, hằng đẳng thức, bất đẳng thức, chứng minh bằng phươngPhụ lục 2ập hợp và ánh xạ............................................................................Phụ lục 3. Tính toán ma trận bằng máy tính cá nhân................................................Tài liệu tham khảo......................................................................................

Bạn đang xem: Toán cao cấp 1

LỜI MỞ ĐẦU

Các bạn đang có trong tay cuốn “ Giáo trình Toán cao cấp” dành cho sinh viên hệđại trà, trường đại học Tài chính – Maketing. Đây là giáo trình dành cho sinh viên khốingành kinh tế và quản trị kinh doanh với thời lượng 4 tín chỉ (60 tiết giảng), được biênsoạn dựa trên cuốn sách cùng tên dành cho chương trình CLC; chính vì vậy chúng tôi cốgắng lựa chọn các nội dung căn bản, trọng yếu và có nhiều ứng dụng trong kinh tế và quảntrị kinh doanh; nội dung giảng dạy không trùng lặp với nội dung sinh viên đã được trangbị ở chương trình phổ thông; chú trọng ý nghĩa và khả năng áp dụng của kiến thức; giáotrình được biên tập trên cơ sở tham khảo nhiều giáo trình quốc tế cũng như trong nước(xem phần tài liệu tham khảo), cũng như kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm của các tácgiả;

Nội dung giáo trình, được thiết kế phù hợp với chương trình đào tạo đại học đại trà,và trình độ của sinh viên khối ngành kinh tế và quản trị kinh doanh. Giáo trình bao gồm 7chương, một số đề tự luyện và một số phụ lục cần thiết.

Chương 1. Trình bày về ma trận, phép toán trên ma trận, định thức, ma trận nghịchđảo, hạng của ma trận, áp dụng vào giải mô hình cân đối liên ngành (Input – Output). Mộtsố ví dụ và bài tập rèn luyện.

Chương 2. Trình bày về hệ phương trình tuyến tính và ứng dụng giải mô hình cânbằng thị trường n hàng hóa có liên quan. Một số ví dụ và bài tập rèn luyện

Chương 3. Trình bày về không gian vectơ; Một số ví dụ và bài tập rèn luyện.Chương 4. Trình bày về phép tính vi phân hàm một biến : Giới hạn dãy số, giới hạnhàm số, hàm số liên tục, đạo hàm và vi phân, ứng dụng trong toán học và kinh tế. Một sốví dụ và bài tập rèn luyện.

Chương 5. Trình bày về nguyên hàm, tích phân bất định, tích phân xác định, tíchphân suy rộng và ứng dụng trong phân tích kinh tế. Một số ví dụ và bài tập rèn luyện.

Chương 6. Trình bày về phép tính vi phân hàm nhiều biến : Hàm số nhiều biến; đạohàm riêng, vi phân toàn phần và ứng dụng trong phân tích kinh tế. Bài toán cực trị tự do

Một số ký hiệu...................................................................................................................

: Tập số tự nhiên.

 : Tập số nguyên.

: Tập số hữu tỉ.

: Tập số thực.

: Tập số phức.

M :m n Tập hợp các ma trận có kích thước cấp (cỡ) m n.

M :n Tập hợp các ma trận vuông cấp n.

(i) : Dòng i (hàng i).

cj : Cột j.

: Phép gán (phép thay thế).

 : Đổi chỗ (hoán vị).

Det(A) A : Định thức của ma trận A.

I hoặc E : Ma trận đơn vị.

r(A) rank(A) : Hạng của ma trận A.

Dim: Số chiều.

lim : Giới hạn.

x/ii

f f x

 

 : Đạo hàm riêng của hàm f theo biến xi.

L : Sử dụng quy tắc L’hospital.

KGVT : Không gian vectơ.

Max : Giá trị lớn nhất.

Min : Giá trị nhỏ nhất.

Q : Sản lượng.

D : Demand (Cầu).

S : Supply (Cung).

QD: Lượng cầu.

QS : Lượng cung.

P : Giá bán.

L : Lao động (nhân công).

MPL: Hàm sản phẩm cận biên của lao động.

K : Vốn.

MPK : Hàm sản phẩm cận biên của vốn.

 : Lợi nhuận.

TR : Tổng doanh thu.

MR: Doanh thu biên (doanh thu cận biên).

TC : Tổng chi phí.

FC : Chi phí cố định.

VC : Chi phí biến đổi (chi phí khả biến).

MC: Chi phí biên (chi phí cận biên).

AC : Chi phí trung bình.

TU : Tổng hữu dụng (Hàm lợi ích).

MU: Hàm hữu dụng biên (hàm lợi ích biên).

EY X: Hệ số co dãn của Y theo X.

Ví dụ 2. Cho hai ma trận: A       13  24 ; B 1 a b 4    

. Tìm a, b để hai ma trận A, B bằng

nhau.Giải

Ta có hai ma trận A và B đều có cấp là  2 2. Do đó A B a 3b 2. 

1.1. Các ma trận đặc biệt1.1.3. Ma trận không Ma trận không là ma trận mà các phần tử đều là số không.Ví dụ 3. Cho các ma trận không

0 2 3   0 0 00 0 0  

là ma trân không cấp  2 3 .

3 20 00 0 00 0

     

là ma trận không cấp  3 2 .

1.1.3. Ma trận vuông Ma trận vuông là ma trận có số hàng và số cột bằng nhau. Ma trận vuông cấp n nđược gọi tắt là ma trận vuông cấp n. Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n được kýhiệu là M .n Với ma trận vuông A M , n các phần tử a , a ,...,a 11 22 nn được gọi là thuộc

đường chéo ( chính ) của ma trận A. Các phần tử a , an1 n 1,2 ,..., a1n được gọi là thuộc đường

chéo phụ của ma trận A.

Ví dụ 4. Cho ma trận vuông cấp 3:

1 2 34 5 67 8 9     

có các phần tử a 11   1, a 22 5, a 33 9

thuộc đường chéo chính còn các phần tử a 31   7, a 22 5, a 13 3 thuộc đường chéo phụ.

1.1.3. Ma trận chéo Ma trận chéo là ma trận vuông mà mọi phần tử không thuộc đường chéo chính đềulà bằng 0.

Ví dụ 5. Cho ma trận chéo cấp 3 :

1 0 00 5 0.0 0 9     

1.1.3. Ma trận đơn vị cấp Ma trận đơn vị là ma trận chéo mà mọi phần tử thuộc đường chéo chính đều bằng

Ký hiệu In là ma trận đơn vị cấp n.

Ví dụ 6. Cho các ma trận đơn vị

2 3 n

1 0 0 1 0 ... 0I 1 0 ; I 0 1 0 ;...; I 0 1 ... 00 1 0 0 1 ... ... ... ...0 0 ... 1                      .

1.1.3. Ma trận tam giác trên (dưới) Ma trận tam giác trên (dưới) là ma trận vuông mà các phần tử ở phía dưới (hoặc ởphía trên) đường chéo chính đều bằng 0.Ví dụ 7. Cho các ma trận cấp 3

1 3 40 2 50 0 3

     

là ma trận tam giác trên.

là ma trận tam giác dưới.

1.1.3. Ma trận bậc thang (ma trận hình thang) Ma trận bậc thang là ma trận ứng với hai dòng bất kỳ số hạng khác không đầutiên của hàng dưới phải nằm bên phải số hạng khác không đầu tiên của hàng trên.

11 12 1r 1n 22 2r 2n

rr rn

a a a a 0 a a a

0 0 a a

0 0 0 0

                       

với r n và a , a ,...,a 11 22 rr gọi là các phần tử chéo.

Ví dụ 8. Cho ma trận bậc thang như sau:

1 2 3 4 50 2 4 3 70 0 3 5 40 0 0 5 8     

A B   aij bijm n (1)

Ví dụ 10. Cho hai ma trận:

A 1 2 3 4 5 6

   ,B 1 1 1.1 1 1    

Tính 2A, 4B, A B, 2A 4B.  

GiảiTa có

2A 2 8 10 12 46   

,  4B   44  4444  

A B   2 1 43 6 5  

, 2A 4B  6 4 140 10 8 . 

1.1.4. Các tính chất Cho ba ma trận A, B, C cùng cấp và  , . a) A B B A   b) (A B) C A (B C)     c) A 0 A  d) A ( A) 0   e) 1 A A  f) (  )A A A g)    (A B) A B h) (    )A ( A) ( A).

1.1.4. Phép nhân hai ma trận

Cho hai ma trận A    aij Mm n , B  bij Mn p. Ta định nghĩa ma trận tích của

hai ma trận A, B là ma trận cấp m p , ký hiệu AB  cij Mm p , xác định bởi

nij i1 1 j i 2 2 j in nj ik kjk 1

c a b a b a b a b , i 1, m , j 1, p 

          (1)

Tính chất(i) Tính kết hợp : Cho A M m n, B Mn p và C M p q , ta có

A BC    AB C.

(ii) Tính phân phối : Với mọi ma trận A, B M m n và C M n p , ta có

 A B C AC BC   ,

và với mọi ma trận C M m n và A, B M n p , ta có

C A B   CA CB_._

(iii) Với mọi ma trận A M m n, B Mn p và với mọi k, ta có

k AB      kA B A kB_._

Hệ quả. Cho A là ma trận vuông cấp n. Ta có An     A AA (nhân n lần).Ví dụ 11. Cho hai ma trận:

3x 2 2x

122 3 4A 1 1 M , B 3 5 0 M.2 3               

Tính AB và  AB. 2

GiảiTa có

122 3 4 8 7 4AB 1 1 3 5 0 1 8 4.2 3 13 9 8

                   

     2

8 7 4 8 7 4AB AB AB 1 8 4 1 8 413 9 8 13 9 8123 148 3636 35 60.217 235 123                 

Ví dụ 12. Cho hai ma trận vuông cấp 4: 1 0 3 4 3 2 2 4A 2 3 12 , B 2113.3 2 4 3 1 0 3 0 1 1 2 1 3 4 3 5

                    

Tính AB và BA.

Xem thêm: Hướng Dẫn Báo Giảm Thai Sản Trên Phần Mềm Vnpt Bhxh, Hướng Dẫn Báo Giảm Thai Sản Trên Phần Mềm Vnpt

1.1.5. Liên hệ giữa phép biến đổi sơ cấp trên hàng và phép nhân ma trận

Cho ma trận A aijm n và ma trận đơn vị cấp m: m

1 0 0I 0 100 0 1         

Định nghĩa: 1

0 1 iI(i, j)1 0 j

1

          

doøng

doøng

1

I(i, ) i

1

doøng

         1

1 iI(i, j, )0 1 j

1

doøng

doøng

            

Lưu ý: +) Phép hoán vị hai hàng của ma trận A được coi là thực hiện phép nhân ma trậnI(i, j) A.+) Phép nhân một hàng của ma trận A với số thực  0 được coi là phép nhânma trận I(i, ) A. 

+) Phép cộng vào hàng i hàng j đã nhân với  (i j ) được coi là phép nhân ma

trận I(i, j, ) A. 

1. Định thức

Xét ma trận vuông cấp n:

11 12 1n 21 22 2n

n1 n 2 nn

a a aA a a aa a a

         

Với mỗi số hạng aij (số hạng nằm ở hàng i và cột j), ma trận nhận được từ A bằng

cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j được gọi là ma trận bù của A đối với số hạng a ,ij ký

hiệu là A .ijVí dụ 14. Cho ma trận vuông cấp 3 :

1 4 7A 2 5 83 6 9

     

Ta có thể thành lập các ma trận bù cấp 2, chẳng hạn A 11           5 86 9 ; A 23  1 43 6 ; A 33  1 42 5.      1.2. Định nghĩa định thức ma trận vuông cấp nĐịnh thức của ma trận vuông A M , n ký hiệu det(A) hay A, là số thực được định

nghĩa bằng quy nạp theo n như sau :

 Với n 1 , nghĩa là A a 11 , thì det A a 11. Với n 2, A (a ) ij n n , thì :

det A  ( 1) a det A1 1 11   11  ( 1)1 2 a det A 12   12    ( 1)1 n a det A1n  1n