Cho nhị vectơ(overrightarrowa)và(overrightarrowb). Lấy một điểm(A)tuỳ ý, vẽ(overrightarrowAB=overrightarrowa)và(overrightarrowBC=overrightarrowb). Vectơ(overrightarrowAC)được gọi làtổngcủa hai vectơ(overrightarrowa)và(overrightarrowb).

Bạn đang xem: Tổng 2 vecto

Ta kí hiệu tổng của nhì vectơ(overrightarrowa)và(overrightarrowb)là(overrightarrowa+overrightarrowb).Vậy(overrightarrowAC=overrightarrowa+overrightarrowb).

Phép toán search tổng của nhị vectơ được điện thoại tư vấn làphép cộng vectơ.

*

2. Quy tắc hình bình hành

Nếu(ABCD)là hình bình hành thì(overrightarrowAB+overrightarrowAD=overrightarrowAC).

*

Ví dụ:Trong hình vẽ bên dưới đây, hai bạn đi dọc hai bên bờ kênh và thuộc kéo một phi thuyền với hai lực là(overrightarrowF_1)và(overrightarrowF_2). Nhì lực(overrightarrowF_1)và(overrightarrowF_2)tạo cần hợp lực(overrightarrowF)là tổng của nhị lực(overrightarrowF_1)và(overrightarrowF_2)làm con thuyền chuyển động. Đây đó là ứng dụng phép tắc hình bình hành trên.

*

Ví dụ 1: cho tam giác(ABC)vuông tại(A)có(AB=6),(AC=8). Tính độ dài của vectơ(overrightarrowAB+overrightarrowAC).

Giải:

Dựng hình chữ nhật(ABDC).

*

Theo tính chất của hình chữ nhật ta có(AD=BC).

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông(ABC)ta có:

(BC=sqrtAB^2+AC^2=sqrt6^2+8^2=10)

Suy ra(AD=10).

Áp dụng luật lệ hình bình hành trên ta có:(overrightarrowAB+overrightarrowAC=overrightarrowAD)

Do đó:(left|overrightarrowAB+overrightarrowAC ight|=left|overrightarrowAD ight|=AD=10).

Vậy độ dài vectơ(overrightarrowAB+overrightarrowAC)là 10 (đơn vị độ dài).


1935025

3. Tính chất của phép cộng các vectơ

Với ba vectơ(overrightarrowa,overrightarrowb,overrightarrowc)tuỳ ý ta tất cả :

(overrightarrowa+overrightarrowb=overrightarrowb+overrightarrowa) (tính chất giao hoán)

(left(overrightarrowa+overrightarrowb ight)+overrightarrowc=overrightarrowa+left(overrightarrowb+overrightarrowc ight))(tính hóa học kết hợp)

(overrightarrowa+overrightarrow0=overrightarrow0+overrightarrowa=overrightarrowa) (tính hóa học của vectơ - không)

Các đặc thù trên được minh hoạ do hình vẽ sau:

*

4. Hiệu của nhị vectơ

a) Vectơ đối

Ví dụ:Trong hình bình hành(ABCD), vectơ(overrightarrowAB)và vectơ(overrightarrowCD)có thuộc phương, ngược phía với nhauvà gồm độ dài bởi nhau. Ta nóivectơ(overrightarrowCD)làvectơ đốicủavectơ(overrightarrowAB).

Cho vectơ(overrightarrowa). Vectơ bao gồm cùng độ dài và ngược hướng với(overrightarrowa)được điện thoại tư vấn là vectơ đối của vectơ(overrightarrowa), kí hiệu là(-overrightarrowa).

Mỗi vectơ đều phải sở hữu vectơ đối, ví dụ điển hình vectơ đối của(overrightarrowAB)là(overrightarrowBA), nghĩa là(-overrightarrowAB=overrightarrowBA).

Đặc biệt, vectơ đối của vectơ(overrightarrow0)làvectơ(overrightarrow0).

Ví dụ:Xét tam giác(ABC)có(D,E,F)lần lượt là trung điểm của các cạnh(BC,CA,AB):

*

Khi kia ta có:(overrightarrowEF=-overrightarrowDC);

(overrightarrowBD=-overrightarrowEF);

(overrightarrowEA=-overrightarrowEC); ...

b) Định nghĩa hiệu của nhì vectơ

Cho nhị vectơ(overrightarrowa)và(overrightarrowb). Ta hotline hiệu của hai vectơ(overrightarrowa)và(overrightarrowb)là vectơ(overrightarrowa+left(-overrightarrowb ight)), kí hiệu là(overrightarrowa-overrightarrowb).

Như vậy:(overrightarrowa-overrightarrowb=overrightarrowa+left(-overrightarrowb ight)).

Từ khái niệm hiệu của nhị vectơ, ta suy ra:

Với tía điểm(O,A,B)tuỳ ý ta có(overrightarrowAB=overrightarrowOB-overrightarrowOA)

*

Chú ý:+) Phép toán kiếm tìm hiệu của nhị vectơ có cách gọi khác làphép trừ vectơ.

+) Với cha điểm tuỳ ý(A,B,C)ta luôn có:

(overrightarrowAB+overrightarrowBC=overrightarrowAC)(quy tắc cha điểm)

(overrightarrowAB-overrightarrowAC=overrightarrowCB)(quy tắc trừ)

thực ra hai luật lệ trên được suy ra trường đoản cú phép cùng vectơ.

Ví dụ 1.Chứng minh rằng với4 điểm(A,B,C,D)bất kì ta luôn luôn có(overrightarrowAB+overrightarrowCD=overrightarrowAD+overrightarrowCB).

Giải:

Thật vậy, lấy một điểm(O)tuỳ ý ta luôn có:

(overrightarrowAB+overrightarrowCD=left(overrightarrowOB-overrightarrowOA ight)+left(overrightarrowOD-overrightarrowOC ight)=overrightarrowOB+overrightarrowOD-overrightarrowOA-overrightarrowOC)

(overrightarrowAD+overrightarrowCB=left(overrightarrowOD-overrightarrowOA ight)+left(overrightarrowOB-overrightarrowOC ight)=overrightarrowOD+overrightarrowOB-overrightarrowOA-overrightarrowOC)

Do đó(overrightarrowAB+overrightarrowCD=overrightarrowAD+overrightarrowCB).

Ví dụ 2.Cho hình bình hành(ABCD)và một điểm(M)bất kì.

chứng tỏ rằng(overrightarrowMA+overrightarrowMC=overrightarrowMB+overrightarrowMD).

Giải:

Do(ABCD)là hình bình hành đề nghị ta có(overrightarrowAB=overrightarrowDC).

Ta có:(overrightarrowMA+overrightarrowMC=overrightarrowMB+overrightarrowMD)

(LeftrightarrowoverrightarrowMC-overrightarrowMD=overrightarrowMB-overrightarrowMA)(thực hiện đưa vế)

(LeftrightarrowoverrightarrowDC=overrightarrowAB)(quy tắc trừ) (luôn đúng)

Vậy(overrightarrowMA+overrightarrowMC=overrightarrowMB+overrightarrowMD).


5. Áp dụng

a) Điểm(I)là trung điểm của đoạn thẳng(AB)khi còn chỉ khi(overrightarrowIA+overrightarrowIB=overrightarrow0);

b) Điểm(G)là trọng tâm của tam giác(ABC)khi và chỉ khi(overrightarrowGA+overrightarrowGB+overrightarrowGC=overrightarrow0).

Chứng minh:

*

b) Trọng tâm(G)của tam giác(ABC)nằm bên trên trung tuyến(AI). Lấy(D)là điểm đối xứng với(G)qua(I). Khi đó(BGCD)là hình bình hành và(G)là trung điểm của đoạn thẳng(AD).

Suy ra(overrightarrowGB+overrightarrowGC=overrightarrowGD)(quy tắc hình bình hành)và(overrightarrowGA+overrightarrowGD=overrightarrow0).

Khi đó ta có:(overrightarrowGA+overrightarrowGB+overrightarrowGC=overrightarrowGA+overrightarrowGD=overrightarrow0).

Xem thêm: 1 (2013) - Google Classroom

Ngược lại, giả sử(overrightarrowGA+overrightarrowGB+overrightarrowGC=overrightarrow0). Vẽ hình bình hành(BGCD)có(I)là giao điểm hai tuyến đường chéo. Lúc đó(overrightarrowGB+overrightarrowGC=overrightarrowGD), suy ra(overrightarrowGA+overrightarrowGD=overrightarrow0)nên(G)là trung điểm của đoạn thẳng(AD). Vì vậy 3 điểm(A,G,I)thẳng hàng,(GA=2GI)và điểm(G)nằm giữa(A)và(I).